Teorema jembatan untuk teori grup dan bahasa formal


13

Apakah ada cara alami atau terkenal untuk menghubungkan atau menautkan kelompok matematika dan bahasa formal CS atau konsep inti CS lainnya misalnya mesin Turing?

Saya mencari referensi / aplikasi. Namun perhatikan bahwa saya mengetahui tautan antara semigroup dan bahasa CS (yaitu via finata automata ). (Apakah literatur tentang semiautomata ini pernah melihat "group-automata"?)

Saya telah melihat satu makalah bertahun-tahun yang lalu yang mungkin datang dekat, yang mengubah tabel transisi TM menjadi operasi biner, mungkin kadang-kadang kelompok dalam beberapa kasus, mungkin didasarkan pada semacam simetri dalam tabel negara TM. Itu tidak mengeksplorasi itu secara khusus, tetapi juga tidak mengesampingkannya.

Juga, khususnya, mengenai kumpulan besar penelitian matematika tentang klasifikasi kelompok terbatas , apakah atau dapatkah itu memiliki makna atau interpretasi dalam TCS? Apa pandangan "lensa algoritmik" dari bangunan besar penelitian matematika ini? Apa yang "dikatakan" tentang kemungkinan struktur tersembunyi dalam perhitungan?

Pertanyaan ini sebagian terinspirasi oleh beberapa catatan lain misalnya:


1
The pertanyaan di Mathoverflow ini terkait dengan pertanyaan ini.
scaaahu

Saya berpikir untuk memindahkan pertanyaan saya. Apa kelas bahasa yang diterima oleh DFA yang transisi monoids adalah kelompok permutasi transitif? pada Math.SE ke sini tergantung pada hasil dari pertanyaan ini.
scaaahu

@ scaaahu Saya pikir teori grup lebih cocok daripada kombinatorik . Juga berpikir Anda harus memindahkan pertanyaan Anda pada Matematika di sini dalam hal apa pun.
Raphael

Jawaban:


12

Biarkan saya menjawab pertanyaan Anda dulu: Apakah literatur tentang semiautomata pernah melihat "group-automata"? . Jawabannya iya. Dalam bukunya (Automata, bahasa, dan mesin. Vol. B, Academic Press), S. Eilenberg memberikan karakterisasi dari bahasa-bahasa reguler yang dikenali oleh kelompok komutatif hingga dan grup- . Hasil serupa diketahui untuk kelompok nilpoten terbatas, kelompok terlarut dan kelompok supersoluble.hal

Kelompok terbatas juga memainkan peran penting dalam masalah menemukan serangkaian identitas lengkap untuk ekspresi reguler. Set lengkap yang tak terbatas diusulkan oleh John Conway dan dugaan ini akhirnya dibuktikan oleh D. Krob. Ada sejumlah terbatas identitas "dasar", ditambah identitas untuk setiap grup sederhana hingga . Lihat jawaban saya untuk pertanyaan ini untuk referensi.

Dalam arah yang berlawanan, teori automata terbatas mengarah pada bukti dasar hasil dasar pada teori kelompok kombinatorial, seperti rumus Schreier. Berdasarkan kertas mani Stallings, Topology of Finite Graphs .

Juga di arah yang berlawanan, grup otomatis didefinisikan dalam hal automata terbatas.

Kelompok-kelompok yang tak terbatas juga memainkan peran penting dalam teori automata. Contohnya adalah karakterisasi bahasa reguler yang dikenali oleh automata transisi-reversibel dengan kemungkinan beberapa kondisi awal dan akhir.

Untuk koneksi yang sangat bagus antara bahasa bebas konteks, grup dan logika, lihat artikel oleh David E. Muller dan Paul E. Schupp, bahasa bebas konteks, grup, teori tujuan akhir, logika tingkat kedua, masalah ubin, seluler automata, dan sistem penambahan vektor .



hal

oops, terima kasih untuk klarifikasi! kelompok-p ? omong-omong, sama halnya, apakah Anda tahu ada koneksi CS untuk grup tanpa batas?
vzn

@vzn Makalah karya Muller dan Schupp membahas tentang kelompok-kelompok tanpa batas. Itu melahirkan gagasan kelompok bebas konteks . Demikian pula, kelompok bebas tak terbatas adalah tak terbatas.
J.-E.

@ vzn Saya juga menambahkan grup otomatis dalam jawaban saya. Ada banyak literatur tentang kelompok-kelompok ini.
J.-E.

11

1S5SEBUAH5

Mengenai klasifikasi grup sederhana hingga, sejauh yang saya ingat itu secara implisit digunakan dalam beberapa algoritma untuk grup isomorfisma, masalah yang berkaitan dengan grafik isomorfisme.


1
Yuval, saya pikir apa yang Anda maksud adalah masalah isomorfisme kelompok (dengan kelompok yang diberikan sebagai tabel perkalian) untuk grup sederhana hingga. Berdasarkan klasifikasi, mereka memiliki generator set ukuran paling banyak dua, yang memberikan algoritma yang sangat mudah: mathoverflow.net/questions/59213/… .
Sasho Nikolov

10

g1,...,gmSebuah1=b1,...,Sebuahn=bnx,y{g1,...,gm}{g1,...,gm}x=y

Ada banyak hasil mendalam yang memberikan kondisi bagi kelas-kelas kelompok yang memiliki masalah kata yang dapat dipecahkan. Menarik juga untuk mempelajari kerumitan dalam memutuskan masalah kata (untuk kelas kelompok yang memiliki masalah kata yang dapat ditentukan), lihat misalnya di sini .


Kompleksitas dalam memutuskan masalah kata ini adalah persis apa yang saya cari. Tampaknya membangun korespondensi yang menarik (ekuivalensi?) Dengan pengujian identitas polinomial probabilistik, jika representasi program garis lurus digunakan untuk kelompok bebas (yang tampaknya juga berlaku untuk pengujian identitas untuk monoid bebas).
Thomas Klimpel

@ThomasKlimpel Bisakah Anda mengatakan lebih banyak tentang hubungan dengan PIT?
Martin Berger

Nah, ternyata itu sebenarnya PIT dari poligon konstan (yaitu tidak ada variabel) di atas Z. Hubungan ini berasal dari perkalian matriks bilangan bulat 2x2, karena penggandaan itu dapat dilakukan sepenuhnya dalam representasi program garis lurus. Tetapi bahkan untuk PIT dari poligon konstan di atas Z, saat ini tidak ada derandomisasi yang diketahui, jadi mungkin ada hubungan yang baik.
Thomas Klimpel

-1

Dengan Google, saya menemukan makalah monoid tak terbatas yang relatif bebas: sebuah pengantar dan contoh, dalam Semigroup, Bahasa Resmi dan Grup oleh Jorge Almeida (Terjemahan bahasa Inggris di Journal of Mathematics Sciences , 144 (2): 3881-3903, 2007) di Subjek ini.


4
Selamat datang di situs ini! Saya mengedit posting Anda untuk memasukkan kutipan penuh ke kertas, jika tautannya mati. Akan sangat membantu jika Anda bisa memberikan sedikit informasi tentang bagaimana makalah ini menjawab pertanyaan.
David Richerby
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.