Pengurangan langsung dari

Kita tahu bahwa adalah di N L oleh Immerman-Szelepcsényi Teorema Teorema dan karena s t - c o n n e c t i v i t y adalah Karenanya, N L - h a r d s t - n $st\text{-}non\text{-}connectivity$$\mathsf{NL}$$st\text{-}connectivity$$\mathsf{NL\text{-}hard}$ adalah banyak-satu ruang log dapat direduksi menjadi s t - c o n n e c t i v i t y . Tapi apakah ada langsung / kombinatorial pengurangan yang tidak melalui grafik konfigurasi mesin Turing di N L ?$st\text{-}non\text{-}connectivity$$st\text{-}connectivity$$\mathsf{NL}$

$\mathsf{stConnectivity}$ (alias):$stPATH$

Diberikan grafik dan simpul s dan t ,$G$$s$$t$

Apakah ada jalur yang diarahkan dari titik ke titik t ?$s$$t$

Klarifikasi:

Anda dapat mengasumsikan grafik diberikan oleh matriks kedekatannya (namun ini tidak penting karena representasi standar dari grafik adalah ruang log yang dapat dikonversi satu sama lain.)

Hal ini dimungkinkan untuk membongkar bukti an s t - c o n n e c t i v i t y dan memindahkannya ke bukti sehingga bukti tidak menggunakannya bahwa teorema sebagai lemma sebuah . Namun konstruksi ini pada dasarnya masih sama. Apa yang saya cari bukan ini, saya ingin pengurangan konseptual langsung. Biarkan saya memberi analogi dengan N P kasus. Kita dapat mengurangi berbagai N P - c o m p $\mathsf{NL\text{-}hard}$$st\text{-}connectivity$$\mathsf{NP}$ masalah satu sama lain dengan menggunakan fakta bahwa mereka berada di N P karena itu mengurangi ke S A T dan S A T mengurangi terhadap masalah lainnya. Dan kita dapat membongkar dan menggabungkan dua pengurangan ini untuk mendapatkan pengurangan langsung. Namun seringkali mungkin untuk memberikan pengurangan yang jauh lebih sederhana secara konseptual yang tidak melalui langkah perantara ini (Anda dapat menghapus menyebutkannya, tetapi masih ada secara konseptual). Misalnya, untuk mengurangi H a m P a t h atau V e r t e x C o $\mathsf{NP\text{-}complete}$$\mathsf{NP}$$SAT$$SAT$$HamPath$ atau 3 - C o l o r i n g ke S A T kita tidak mengatakan H a m P a t h adalah dalam N P dan karena itu berkurang ke S A karena S A T adalah N P - h a r d . Kita dapat memberikan formula intuitif sederhana yang memuaskan jika grafik memiliki jalur Hamilton. Contoh lain, kami memiliki pengurangan dari masalah lain di$VertexCover$$3\text{-}Coloring$$SAT$$HamPath$$\mathsf{NP}$$SA$$SAT$$\mathsf{NP\text{-}hard}$ ke s t - C o n n e c t i v i t y yang tidak bergantung pada N L - c o m p l e t e ness s t - C o n n e c t i v i t y , misalnya C y c l e , S t r o n $\mathsf{NL}$$st\text{-}Connectivity$$\mathsf{NL\text{-}complete}$$st\text{-}Connectivity$$Cycle$ , dll, mereka melibatkan modifikasi pada grafik input (dan tidak merujuk ke mesin Turing yang menyelesaikannya).$StronglyConnected$

Saya masih tidak melihat alasan mengapa ini tidak dapat dilakukan untuk yang satu ini. Saya mencari pengurangan jenis ini.

Ini mungkin hal ini tidak mungkin dan setiap pengurangan konseptual akan pergi melalui hasil ness. Namun saya tidak melihat mengapa itu harus menjadi kasus, mengapa situasi akan berbeda dari N P kasus. Jelas untuk memberikan jawaban negatif untuk pertanyaan saya, kita perlu lebih formal tentang kapan bukti secara konseptual$\mathsf{NL\text{-}hard}$$\mathsf{NP}$termasuk bukti lain (yang merupakan pertanyaan teori bukti bahwa AFAIK tidak puas dengan cara yang memuaskan). Namun perhatikan bahwa untuk jawaban positif seseorang tidak memerlukan definisi formal dan saya berharap itu masalahnya. (Saya akan berpikir tentang bagaimana memformalkan apa yang saya minta dengan cara yang setia ketika saya menemukan lebih banyak waktu luang. Pada dasarnya saya ingin pengurangan yang akan bekerja bahkan jika kita tidak tahu bahwa masalahnya selesai untuk )$\mathsf{NL}$

Menggunakan bukti Immerman-Szelepcsényi teorema baik-baik saja, menggunakan ness s t P A T H dan grafik konfigurasi dari N L mesin adalah apa yang saya ingin menghindari.$\mathsf{NL\text{-}complete}$$stPATH$$\mathsf{NL}$

Dimungkinkan, jika berantakan, untuk mengubah bukti teorema Immerman-Szelepcsényi menjadi reduksi yang Anda inginkan. Sama sekali tidak perlu menggunakan NL-kelengkapan st-konektivitas.

Diberikan instance , kami membuat grafik baru G ′ = ( V ′ , E ′ ) , s ′ , t ′ . "Simpul utama" dari V ′ mencatat informasi berikut: jarak saat ini d dari s , jumlah simpul jarak paling banyak d - 1 , jumlah simpul jarak d - $G=(V,E),s,t$$G'=(V',E'),s',t'$$V'$$d$$s$$d-1$$d-1$dihitung sejauh ini, vertex saat ini kami menebak jika memiliki jarak paling , jumlah simpul dari jarak paling d dihitung sejauh ini, vertex saat kita menentukan apakah ia memiliki jarak paling d . Vertikal minor menangani bagian di mana kita menebak jalur panjang paling banyak d - 1 ke titik yang kita kira paling jauh dari d - 1 . Tepi yang melibatkan menunjukkan t titik dapat dicapai dari $d-1$$d$$d$$d-1$$d-1$$t$$s$dijatuhkan. Untuk setiap titik yang kami uji pada jarak saat ini, kami hanya bergerak maju ke titik berikutnya jika kami telah memperhitungkan semua simpul dari jarak yang lebih kecil. Ketika bergerak dari jarak jarak d + 1 , kita menyalin informasi yang diperlukan. Titik awal s ′ menyumbang fakta bahwa s adalah satu-satunya titik jarak nol. Titik akhir t ′ ditunjukkan oleh semua simpul yang mewakili fakta bahwa proses telah selesai hingga (dan termasuk) jarak n - 1 , di mana n = | V | .$d$$d+1$$s'$$s$$t'$$n-1$$n=|V|$

Seperti yang Anda lihat, itu akan sangat berantakan untuk menulis semuanya secara lengkap dan benar, tetapi pasti mungkin. Tidak ada kelengkapan NL yang dibuat, karena kami tidak pernah menggunakan grafik konfigurasi mesin NL. Itu tidak diperlukan, karena kami memiliki sesuatu yang lebih baik daripada grafik konfigurasi - instance input itu sendiri.