MIN-2-XOR-SAT dan MAX-2-XOR-SAT: apakah mereka NP-hard?

Apa kompleksitas dari dan ? Apakah mereka dalam P? Apakah ini NP-hard? $\text{MIN-2-XOR-SAT}$ $\text{MAX-2-XOR-SAT}$

Untuk memformalkan ini lebih tepat, biarkan

Φ (x) = \land_{i}^{n} C_{i},

$\Phi\left(\mathbf x\right)={\huge\wedge}_{i}^{n}C_i,$

di mana dan setiap klausa adalah dalam bentuk atau . $\mathbf{x} = (x_1,\dots,x_m)$ $C_i$ $(x_i \oplus x_j)$ $(x_i \oplus \neg x_j)$

Masalah adalah untuk menemukan tugas untuk yang memenuhi . Masalah ini ada di , karena sesuai dengan sistem persamaan linear mod . $\text{2-XOR-SAT}$ $\mathbf{x}$ $\Phi$ $P$ $2$

Masalah adalah untuk menemukan tugas ke yang memaksimalkan jumlah klausa yang dipenuhi. Masalah adalah untuk menemukan tugas ke yang meminimalkan jumlah klausa yang dipenuhi. Apa kompleksitas masalah ini? $\text{MAX-2-XOR-SAT}$ $\mathbf{x}$ $\text{MIN-2-XOR-SAT}$ $\mathbf{x}$

Terinspirasi oleh MIN atau MAX-True-2-XOR-SAT NP-hard?

— DW
sumber

Jawaban:

Maaf telah menjawab pos lama

Masalah menentukan apakah instance MONOTONE-2-XOR-SAT (semua klausa sejenis ) memuaskan dapat direduksi menjadi masalah menentukan apakah grafik bipartit, lihat ini . $({x_i}\oplus x_j)$

Untuk melakukan itu kita membuat grafik dengan simpul untuk setiap literal rumus dan kita menghubungkan setiap literal dengan yang lain jika mereka berada di klausa yang sama (edge adalah klausa) $G$

Contohnya:

Jika kita memiliki rumus yang tidak memuaskan yaitu $({x_1}\oplus x_2) \wedge ({x_1}\oplus x_3) \wedge({x_2}\oplus x_3) \wedge ({x_1}\oplus x_4)$

Kami memiliki grafik seperti ini:

grafo no bipartito

itu bukan bipartit

Ada tiga klausa yang memuaskan dan jadi kami hanya perlu menghilangkan kelebihan

Sekarang, kita dapat mengurangi masalah penentuan jika kita dapat menemukan subgraf bipartit maksimum dengan verteks untuk masalah menentukan apakah kita dapat memenuhi klausa dalam rumus MONOTONE-MAX-2XOR-SAT, lihat ini . Dan masalah subgraph bipartit maksimum setara dengan max cut $k$ $k$

Untuk melakukan reduksi, kita cukup membuat literal baru untuk setiap simpul dan kami membuat klausa untuk setiap sisi yang menghubungkan dua literal

Contohnya:

Kami memiliki grafik ini,

grafo no bipartito 2

Kami membuat rumus follwing $({x_1}\oplus x_2) \wedge ({x_1}\oplus x_4) \wedge({x_2}\oplus x_4) \wedge ({x_2}\oplus x_3) \wedge ({x_4}\oplus x_5) \wedge ({x_3}\oplus x_5)$

Jadi, jika kita dapat menemukan tugas yang memenuhi klausa itu berarti bahwa ada subgraf bipartit dengan setidaknya edge. $k$ $k$

— rotia
sumber

Anda harus membuat implikasinya eksplisit: Karena MAX-CUT adalah NP-Hard, pengurangan ke MAX-XORSAT berarti bahwa itu juga NP-Hard.

— Antimony

-1

Di mana setiap klausa hanya diberikan sebagai , buat simpul untuk setiap literal , buat tepi antara dua simpul jika ada hubungan XOR di antara mereka. Agar pernyataan benar, itu harus memenuhi . Sekarang kita bisa mengadopsi masalah pewarnaan simpul (tidak ada dua simpul yang terhubung oleh tepi diberi warna yang sama, kami memiliki kendala tambahan 2 warna hanya jika kami ingin memenuhi persamaan). Klausa $(x_i\oplus x_j)$ $x_i$ $x_i\oplus x_j$ $x_i\neq x_j$ $x_i\oplus x_j$ benar jika simpul yang sesuai telah diberi warna berbeda dalam grafik.

Jika semua simpul dari grafik dapat diwarnai menggunakan 2 warna dan tidak ada dari dua simpul dengan bagian tepi yang sama diberi warna yang sama maka persamaan tersebut memuaskan.

Tapi sebuah grafik 2-warna jika itu adalah grafik bipartit. Dan menentukan apakah suatu grafik adalah bipartit dapat dilakukan dalam waktu polinomial. Oleh karena itu masalahnya ada di P, karena jika kita dapat menentukan dalam waktu polinomial bahwa grafik tersebut adalah grafik bipartit maka dapat dipecahkan, jika tidak maka tidak dapat dipecahkan.

— jcod0
sumber

(x_{i} \oplus x_{j})

$(x_i \oplus x_j)$

(x_{k} \oplus \neg x_{l})

$(x_k \oplus \neg x_l)$

k, l

$k,l$

(x_{k} \oplus \neg x_{l})

$(x_k \oplus \neg x_l)$

Ini membawa saya ke masalah yang lebih serius dengan jawaban Anda. Masalahnya bukan untuk menentukan apakah formula itu memuaskan; masalahnya adalah untuk mengidentifikasi tugas yang memenuhi jumlah maksimum / minimum dari klausa. Algoritme Anda hanya menguji apakah rumusnya memuaskan. Jadi, ini memecahkan 2-XOR-SAT, tetapi tidak menyelesaikan MIN-2-XOR-SAT atau MAX-2-XOR-SAT - tetapi saya sudah tahu bahwa 2-XOR-SAT dalam P, seperti yang dijelaskan dalam pertanyaan. Apakah saya salah mengerti sesuatu?

— DW

x_{i} \oplus x_{k}

$x_i\oplus x_k$

Tapi saya masih tidak melihat bagaimana ini menanggapi komentar kedua saya. Anda telah memecahkan kasus khusus masalah yang tidak saya tanyakan. Singkatnya, jawaban ini tidak menjawab pertanyaan yang saya ajukan.

— DW