Kompleksitas masalah Adopsi Kucing

Ini muncul ketika saya mencoba untuk menjawab pertanyaan ini pada Minimalisasi Panjang Kabel . Saya akan menyebutnya masalah "perkawinan poligami", tetapi internet, jadi anak kucing. Yay!

Misalkan kita memiliki anak kucing yang perlu diadopsi oleh N orang, M > N . Untuk setiap anak kucing, saya dan setiap orang j ada biaya c i j . Kami ingin meminimalkan biaya total untuk mendapatkan semua anak kucing yang diadopsi. Ada juga satu set kendala: setiap orang j mampu mengadopsi tidak lebih dari u j anak kucing.$M$$N$$M > N$$i$$j$$c_{ij}$$j$$u_j$

Tanpa kendala, masalahnya mudah; setiap anak kucing pergi dengan orang j yang c i j minimal. Dengan kendala apakah ada algoritma yang efisien untuk masalah ini atau apakah ini NP-hard?$i$$j$$c_{ij}$

Ini adalah masalah max-flow min-cost.

Pertimbangkan grafik , di mana A adalah himpunan anak kucing, B adalah himpunan orang.$G=(A\cup B\cup \{s,t\},E)$$A$$B$

Biarkan menjadi kapasitas tepi, dan c : E → R + menjadi biaya tepi. Kami memastikan itu$C:E\to \mathbb{R}^+$$c:E\to \mathbb{R^+}$

1. Ada tepi antara , di mana a i ∈ A dan b j ∈ B , dan C ( a i , b j ) = 1 , c ( a i , b j ) = c i , j .$a_i,b_j$$a_i\in A$$b_j\in B$$C(a_i,b_j)=1$$c(a_i,b_j)=c_{i,j}$
2. Ada batas antara dan a i ∈ A , dan C ( s , a i ) = 1 , c ( s , a i ) = 0 .$s$$a_i\in A$$C(s,a_i)=1$$c(s,a_i)=0$
3. Ada tepi antara dan t , dan C ( b j , t ) = u j , c ( b j , t ) = 0 .$b_j\in B$$t$$C(b_j,t)=u_j$$c(b_j,t)=0$

Jika aliran maks adalah , maka kita tahu ada solusi. Anda dapat membangun solusi biaya minimum dari aliran maks biaya minimum.$M$

Ini adalah masalah pencocokan berat minimum minimum yang polinomial. Perhatikan grafik bipartit lengkap , di mana L berisi node l i untuk setiap kucing saya , R terdiri dari u j salinan node r j untuk setiap orang j , dan ujung-ujungnya e i j ∈ E antara l i dan setiap salinan r j , dengan bobot c i j .$(L , R , E)$$L$$l_i$$i$$R$$u_j$$r_{j}$$j$$e_{ij} \in E$$l_i$$r_{j}$$c_{ij}$

Kita tahu itu , jika tidak, tidak semua anak kucing dapat ditugaskan ke orang.$|L| \leq |R|$

Sejak pencocokan sempurna harus cocok dengan semua node, kita perlu menambahkan node dummy untuk (untuk mendapatkan | L | = | R | ) dan menghubungkan mereka dengan nol tepi berat ke semua node di R .$L$$|L| = |R|$$R$

Mungkin yang menarik adalah pengamatan bahwa seseorang dapat mengurangi Pemisahan menjadi varian dari masalah ini. Diberikan adalah turunan dari Partisi dengan elemen dengan q bahkan dari mana kita harus memilih subset S ⊆ { 1 , ... , q } dengan | S | = q / 2 sedemikian rupa sehingga ∑ i ∈ S x i = ∑ i ∉ S x i = $\{x_1,\dots,x_q\}$$q$$S \subseteq \{1,\dots,q\}$$|S|=q/2$$\sum_{i\in S} x_i = \sum_{i\not\in S} x_i = K$. (Perhatikan bahwa persyaratan untuk memilih tepat separuh elemen bukanlah bentuk yang biasa tetapi bentuk ini masih NP-keras.) Biarkan setiap anak kucing menjadi elemen set; biarlah ada dua orang; biarkan bobotnya menjadi dan c i 2 = - x i ; biarkan kamu 1 = u 2 = q / 2 . Maka hal ini dari Kitten Adopsi memiliki maksimum dari 0 IFF contoh Partisi memiliki solusi.$c_{i1} = x_i$$c_{i2} = -x_i$$u_1 = u_2 = q/2$$0$

$C$$Cq$

Saya tidak yakin apa yang dikatakan ini tentang kerumitan masalah aslinya, tetapi mengingat "salah satu dari perkecil / maksimalkan adalah NP-hard, yang lainnya ada dalam pengaturan P" untuk masalah optimisasi kombinatorial, saya akan mulai mencari algoritma yang efisien.