Setara independen mengatur dan mengatur pengepakan

9

Menurut Wikipedia, masalah Set Independen adalah kasus khusus dari masalah Set Packing . Tapi, menurut saya masalah ini setara.

Masalah pencarian Set Independen adalah: diberi grafik $G(V,E)$ dan bilangan bulat $n$ , Temukan $n$ simpul tidak ada dua yang berdekatan.

Masalah pencarian Set Packing adalah: diberi koleksi terbatas $C$ set terbatas dan integer $n$ , Temukan $n$ set yang terpisah berpasangan.

Saya pikir mereka setara berdasarkan pengurangan dua arah berikut:

→: Diberi masalah set independen pada grafik $G(V,E)$ , buat koleksi $C$ set, di mana untuk setiap simpul $v \in V$ ada satu set $S_v \in C$ mengandung semua sisi yang berdekatan $v$ . Sekarang, setiap set dikemas $C$ sesuai dengan satu set simpul tidak ada dua yang memiliki kesamaan, yaitu, ini adalah set independen di $G$ dengan ukuran yang sama.

←: Diberikan masalah pengepakan pada koleksi $C$ , buat grafik $G(V,E)$ di mana untuk setiap himpunan ada simpul , dan ada batas antara dan jika set dan berpotongan. Sekarang, setiap set simpul independen dalam sesuai dengan satu set set dari tidak ada dua yang berpotongan, yaitu, ini adalah set kemasan dalam dari ukuran yang sama. $S \in C$ $v_S \in V$ $v_{S_1}$ $v_{S_2}$ $S_1$ $S_2$ $G$ $C$ $C$

Pertanyaan saya adalah: apakah pengurangan saya benar? Jika demikian, apakah masalah ini setara? Apakah mungkin untuk menggunakan algoritma aproksimasi untuk satu masalah pada masalah lainnya?

— Erel Segal-Halevi
sumber

7

Arti yang tepat dari "setara" tidak jelas tetapi Anda telah menunjukkan sesuatu yang lebih dalam daripada kesetaraan normal dalam pengurangan yang dipertimbangkan untuk masalah NP-complete.

Anda telah menunjukkan apa yang dikenal sebagai reduksi pelit antara kedua masalah. Biasanya, pengurangan antara masalah NP-complete adalah banyak-satu pengurangan: mereka hanya memiliki sifat bahwa masalah A memiliki solusi jika, dan hanya jika, masalah B memiliki solusi. Misalnya, ketika Anda mengurangi 3SAT menjadi 3-Colourability, Anda menghasilkan grafik $G$ itu 3-colourable jika, dan hanya jika, formula asli $\varphi$ memuaskan. Namun, jika $\varphi$ telah $N$ variabel, jumlah tugas yang memuaskan bisa apa saja antara nol dan $2^N$ , inklusif, sedangkan jumlah 3-warna dari grafik apa pun adalah kelipatan dari enam karena permutasi dari set warna.

Intinya tentang pengurangan pelit adalah bahwa mereka satu-ke-satu. Pengurangan Anda membuat bijection antara solusi dari masalah set independen dan solusi dari masalah packing set yang sesuai. Pengurangan Parsimonious berguna karena mereka mempertahankan optimasi dan (perkiraan) menghitung versi masalah. Jadi pengurangan Anda juga menunjukkan bahwa masalah menemukan set independen terbesar sama sulitnya dengan menemukan packing set menggunakan set terbanyak dan bahwa masalah menghitung semua set independen sama sulitnya dengan menghitung semua kemasan set.

Ada kelas reduksi yang lebih luas yang juga mempertahankan penghitungan dan perkiraan penghitungan. Ini adalah reduksi pelestarian aproksimasi Dyer et al. [1]. Ini adalah reduksi oracle dan mengendurkan persyaratan satu-ke-satu dari reduksi parsimoni ke apa, pada dasarnya, "Jika Anda tahu (perkiraan) satu, Anda dapat dengan mudah menghitung (perkiraan) yang lain." Secara khusus, pengurangan AP dapat dengan mudah menangani faktor $q!$ yang melekat dalam setiap pengurangan ke $q$ masalah -warna. Seperti namanya, pengurangan AP menjaga aproksimasi, dalam arti bahwa, jika ada pengurangan AP dari A ke B dan ada FPRAS untuk B, maka ada juga FPRAS untuk A.

[1] Dyer, Goldberg, Greenhill, Jerrum. Kompleksitas relatif dari perkiraan masalah penghitungan. Algorithmica 38 (3): 471–500, 2003. DOI ; PDF gratis

— David Richerby
sumber

3

Kedua masalah adalah NP-lengkap, jadi bahkan tanpa memeriksa pengurangan Anda, mereka setara dalam arti itu.

Namun, pengurangan Anda sepertinya tidak apa-apa. Secara teknis untuk hasil perkiraan Anda ingin memverifikasi beberapa properti tambahan dari pengurangan (tidak harus sulit dilakukan, misalnya dalam hal ini pengurangan PTAS menarik). Anda juga harus berbicara tentang versi optimasi masalah, daripada versi keputusan (yaitu meminta jawaban maks / mnt, daripada untuk keberadaan salah satu dari ukuran tertentu atau lebih / kurang).

Bahkan sudah diketahui bahwa mereka memang memiliki perkiraan yang terkait. Sayangnya, mereka umumnya tidak memiliki perkiraan yang baik. Untuk kedua masalah (dan Maximum Clique, yang juga terkait erat) ada hasil yang tidak dapat diperkirakan, yang utama adalah ketidakmungkinan untuk $|V|^{1-\varepsilon}$ untuk apa saja $\varepsilon > 0$ (kecuali NP = ZPP), yang kira-kira seburuk yang didapatnya.

Jika Anda melihat kelas grafik yang terbatas, Anda mungkin dapat menemukan sesuatu yang menarik. Untuk bacaan lebih lanjut, saya merujuk Anda ke ringkasan Viggo Kann yang sangat berguna:

— Luke Mathieson
sumber