Apakah selalu ada kompleksitas Big Oh yang ketat di antara dua lainnya?

8

Saya belajar tentang analisis asimptotik, dan telah melihat beberapa kerumitan yang terlihat eksotis yang hidup di antara yang umum lainnya. Misalnya "log log n" adalah antara 1 dan log n. Itu membuat saya bertanya-tanya apakah seseorang dapat selalu menemukan kompleksitas di antara dua lainnya.

Khususnya, untuk fungsi apa saja f dan g dengan O (f) ⊂ O (g) apakah selalu ada h sehingga O (f) ⊂ O (h) ⊂ O (g)?

Ini bukan pekerjaan rumah atau apa pun. Saya hanya ingin tahu apakah ada yang tahu.

complexity-theory time-complexity asymptotics

— pengemis
sumber

10

Ya: ambil fungsi di tengah, untuk beberapa definisi menengah yang sesuai. Anda punya banyak pilihan.

Jika $O(f) \subset O(g)$ (Jika inklusi ketat), maka $g \in O(g) \setminus O(f)$ (karena jika $g \in O(f)$ dan $f \in O(g)$ kemudian $\Theta(f) = \Theta(g)$ ). Ambil rerata geometris: biarkan $h = \sqrt{f \cdot g}$ (karena kita berbicara tentang kompleksitas di sini, saya menganggap fungsinya positif).

Kemudian $f \in O(h)$ dan $h \in O(g)$ (jika ini tidak segera jelas, buktikan menggunakan definisi $O$ ), yaitu $O(f) \subseteq O(h) \subseteq O(g)$ . Jika $O(f) = O(h)$ kemudian $g = f \in O(f)$ , yang tidak terjadi sejak kami berasumsi $g \notin O(f)$ . Masih membuktikan itu $O(h) \ne O(g)$ , dan kami akan melakukannya $O(f) \subset O(h) \subset (g)$ .

Jika $O(h) = O(g)$ kemudian $g \in O(h)$ , yaitu ada $A$ dan $C \gt 0$ seperti yang $\forall x \ge A, g(x) \le C \, h(x) = C \sqrt{f(x) g(x)}$ . Kemudian $g(x) \le C^2 f(x)$ (ambil bujur sangkar dan bagi dengan $g(x)$ ; lagi, saya menganggap fungsi positif), jadi $g \in O(f)$ , yang bertentangan dengan asumsi awal kami. Hipotesis $O(h) = O(g)$ mengarah ke kontradiksi, yang menyimpulkan buktinya.

— Gilles 'SANGAT berhenti menjadi jahat'
sumber

Membiarkan rata-rata terjadi pada saya juga, tapi saya bertanya-tanya apakah ada hasil yang lebih kuat. Jika f: x ↦ 0, dan g: x ↦ 2x, maka h akan menjadi x, tetapi O (h) persis sama dengan O (g). Saya mencari h yang lebih lemah, di mana O (h) berisi elemen O (f) tidak dan kehilangan beberapa elemen dari O (g).

— Pengemis

@ user3102996 Ups, ya, Anda benar. Kesalahannya adalah dalam "sama" ... Rata-rata aritmatika tumbuh seperti fungsi yang lebih besar! Mean geometrik, di sisi lain, tumbuh "persis" di tengah. Saya sudah mengoreksi jawaban saya.

— Gilles 'SANGAT berhenti menjadi jahat'

-3

ini tampaknya benar untuk fungsi "terdefinisi dengan baik" atau kemungkinan "ruang / waktu yang dapat dibangun" namun ada yang dikenal sebagai (oleh beberapa) "fungsi patologis" yang ditemukan oleh Blum dalam misalnya teorema Blums Gap yang bukan merupakan kasus. jadi sepertinya mirip dengan konsep misalnya diferensiasi dalam kalkulus yang bekerja untuk "fungsi yang berperilaku paling baik" tetapi yang "pengecualian patologis" telah ditemukan. tampaknya tidak ada banyak studi sistematis / lebih lanjut sejauh ini dari "pengecualian patologis" dalam teori kompleksitas.

— vzn
sumber

ps iirc itu adalah goldreich oded yang menyebut mereka fungsi pertumbuhan "patologis" ... mungkin beberapa lebih suka menyapu mereka di bawah karpet = (

— vzn