Mengapa fungsi ini dapat dihitung dalam waktu

Buku teks saya mengatakan: "Kami mendefinisikan fungsi $f\colon \mathbb{N}\to\mathbb{N}$ sebagai berikut: $f(1)=2$ dan $f(i+1)=2^{f(i)^{1.2}}$ . Perhatikan bahwa diberikan $n$ , kita dapat dengan mudah menemukan di $O(n^{1.5})$ waktu jumlah $i$ sehingga $n$ terjepit di antara $f(i)$ dan $f(i+1)$ ."

Bagaimana saya dapat meyakinkan diri sendiri bahwa kita dapat dengan mudah menemukan dalam waktu ? Karena didefinisikan secara berulang, saya pikir kita harus menghitung hingga . Untuk mengetahui waktu yang dibutuhkan perhitungan ini, saya pikir kita harus menemukan batas atas yang cocok untuk bergantung pada $i$ $O(n^{1.5})$ $f$ $f(1),f(2),f(3)\dots f(j)$ $f(j)\geq n$ $i$ $n$ dan kita harus menemukan batas atas pada waktu eksekusi fungsi . Pada akhirnya, kami harap dapat menunjukkan proposisi yang dikutip. Sayangnya, saya tidak melihat satu hal maupun yang lain. $x\to2^{x^{1.2}}$

Saya lupa menyebutkan: Harap dicatat bahwa kita berada dalam konteks nondeterministik. Jadi diklaim dapat dihitung dalam oleh mesin Turing nondeterministic. $f$ $O(n^{1.5})$

Seperti beberapa orang sudah membaca pertanyaan ini, dengan beberapa dari mereka menemukan itu berguna dan menarik juga, tetapi tidak ada yang menjawab sejauh ini, saya ingin memberikan beberapa informasi lebih lanjut tentang konteksnya: Klaim yang dikutip merupakan bagian integral dari bukti teorema hierarki waktu nondeterministik. Buktinya (dengan klaim) dapat ditemukan misalnya dalam buku oleh Arora dan Barak , tetapi saya telah menemukan beberapa sumber daya lain di Web juga yang menyajikan bukti yang sama. Masing-masing dari mereka menyebut klaim itu mudah atau sepele dan tidak menjelaskan bagaimana menemukan dalam waktu . Jadi semua sumber daya ini hanya disalin dari Arora dan Barak atau klaim sebenarnya tidak terlalu sulit. $i$ $O(n^{1.5})$

complexity-theory algorithm-analysis nondeterminism

— pengguna1494080
sumber

Ini terlihat seperti bukti teorema hierarki waktu nondeterministik dalam Arora & Barak, bukan? Jika demikian, saya menganggap nondeterminisme berperan di sini.

— G. Bach

Kamu benar. Maaf untuk itu, saya harus menyebutkan konteks nondeterministik. Bisakah Anda jelaskan lebih terinci bagaimana nondeterminisme membantu kita di sana untuk menunjukkan batas O (n ^ 1.5)?

— user1494080

Dilambangkan oleh panjang angka , yaitu (untuk ). Menghitung membutuhkan waktu dalam model RAM, sehingga menghitung dari membutuhkan waktu $|x|$ $x$ $\lfloor \log_2 x \rfloor + 1$ $x > 0$ $2^x$ $O(x)$ $f(i+1)$ $f(i)$ . Karena tumbuh lebih cepat daripada geometris, waktu keseluruhan untuk menghitung adalah . Seperti yang Anda tunjukkan, Anda perlu melakukannya sampai , yang berarti . Oleh karena itu total waktu berjalan adalah $O(f(i)^{1.2}) = O(|f(i+1)|)$ $f(i)$ $f(i+1)$ $O(|f(i+1)|)$ $f(i+1) \geq n$ $f(i) < n$ . $O(|f(i+1)|) = O(f(i)^{1.2}) = O(n^{1.2})$

Dalam model mesin Turing dengan satu pita, menghitung membutuhkan waktu , sehingga total waktu berjalan adalah . Algoritma untuk menghitung menggantikan dengan (di sini adalah representasi biner dari , dan $2^x$ $O(x\log x)$ $O(n^{1.2} \log n) = O(n^{1.5})$ $2^x$ $[x]$ $1[[x]]$ $[x]$ $x$ adalah representasi biner menggunakan digit berbeda ), dan kemudian berulang kali menjalankan transformasi , yang membutuhkan waktu . $[[x]]$ $0',1'$ $[[x]] \longrightarrow 0[[x-1]]$ $O(|x|) = O(\log x)$

— Yuval Filmus
sumber

Sempurna terima kasih! Satu pertanyaan lagi: Bukankah kita harus berargumen bahwa | f (i) | tumbuh lebih cepat daripada geometris daripada itu f (i) tumbuh lebih cepat daripada geometris?

— user1494080

Sejak

, itu adalah hal yang sama, tetapi Anda benar. Apa yang kita inginkan adalah

| f (i + 1) | = f (i)^{1.2}

$|f(i+1)| = f(i)^{1.2}$

\sum_{j \leq i} | f (j) | = O (| f (i) |)

$\sum_{j \leq i} |f(j)| = O(|f(i)|)$

— Yuval Filmus