Runtime terikat pada algoritma masalah lengkap NP dengan asumsi P ≠ NP

Asumsikan . $P\neq NP$

Apa yang bisa kita katakan tentang batas runtime semua masalah NP-complete?

yaitu fungsi apa yang paling ketat yang dapat kami jamin bahwa algoritme optimal untuk setiap masalah NP-complete berjalan dalam waktu setidaknya dan paling banyak pada input panjang ? $L,U:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ $\omega(L(n))$ $o(U(n))$ $n$

Jelas, $\forall c:L(n)=\Omega(n^c)$ . Juga, $U(n) = O(2^{n^{\omega(1)}})$ .

Tanpa mengasumsikan , , atau asumsi lain yang tidak tersirat oleh , dapatkah kita memberikan batasan yang lebih baik pada ? $QP\neq NP$ $ETH$ $P\neq NP$ $L,U$

EDIT:

Perhatikan bahwa setidaknya satu dari harus jauh dari batas yang saya berikan di sini, karena menjadi masalah NPC, masalah ini memiliki pengurangan waktu poli antara satu sama lain, yang berarti bahwa jika beberapa masalah NPC memiliki algoritma waktu yang optimal , maka semua masalah memiliki algoritma (optimal atau tidak) dari runtime . $L,U$ $f(n)$ $O(f(n^{O(1)}))$

— BPR
sumber

jika P NP kita dapat mengatakan bahwa batas runtime lebih besar daripada setiap polinomial .... afaik tidak, batas yang lebih baik tidak diketahui .... banyak notasi tidak chg bahwa ... ada memang ada superpolinomial-tapi- fungsi subeksponensial misalnya

≠ $\neq$

2logn $2^{\log n}$

— vzn

Pertama,

hanya linear, jadi saya kira Anda maksud

yang dikenal sebagai kelas

. Saya sepenuhnya menyadari bahwa

tidak berarti fungsi NP-complete akan berjalan pada waktu eksponensial, tetapi bukan itu yang saya tanyakan. Misalnya, dengan asumsi

, adalah mungkin bahwa masalah NPC dapat diselesaikan dalam

2logn $2^{\log n}$

2polylog(n) $2^{polylog(n)}$

QP $QP$

P≠NP $P\neq NP$

, di mana

adalah kebalikan fungsi Ackermann? Notasi hanyalah alat yang digunakan untuk mengungkapkan pertanyaan saya secara resmi ..2l o g( N ) ⋅ l o g∗( n ) $2^{log(n)\cdot log^*(n)}$

l o g∗( n ) $log^*(n)$

— RB

Terima kasih untuk koreksi. sangat sedikit yang diketahui di daerah ini afaik. coba pertanyaan ini NTime (n ^ k) =? DTime (n ^ k) tcs.se

— vzn

@RB Meskipun benar bahwa di setiap "dunia yang mungkin" ada batas bawah dan atas yang kira-kira berada dalam polinomial satu sama lain, tidak jelas apa batas apriori yang mungkin.

— Yuval Filmus

Interpretasi saya atas pertanyaan ini adalah yang ditanyakan tentang kemungkinan-kemungkinan dalam dunia yang direlatifikasi . Misalkan di beberapa dunia menisbikan, . Bisakah kita menyimpulkan sesuatu yang tidak sepele tentang kompleksitas waktu dari masalah NP-complete? The Baker-Gill-Solovay argumen menunjukkan bahwa kita dapat "memaksa" beberapa masalah NP membutuhkan waktu eksponensial, sehingga batas atas diberikan dalam pertanyaan dasarnya optimal. $P \neq NP$

Mengenai batas bawah, kami membuat sketsa di bawah bukti yang relatif terhadap beberapa oracle, . Dengan asumsi bahwa bukti sketsa itu benar, kita juga dapat menerapkannya pada fungsi yang lebih kecil dari , dan ini menunjukkan bahwa batas bawah yang diberikan dalam pertanyaan juga pada dasarnya ketat. $NP = \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})$ $2^{O(\log^2 n)}$

Sketsa bukti. Kami membuat dua nubuat : yang pertama berperilaku seperti -lengkap masalah, dan yang kedua mengimplementasikan diagonalisasi Baker – Gill – Solovay. Sangat mudah untuk mengemas kedua oracle menjadi satu oracle tunggal. $O_1,O_2$ $\mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})$

Oracle terdiri dari semua pasangan sehingga adalah mesin oracle Turing yang menerima dalam menjalankan waktu $O_1$ $\langle M, x \rangle$ $M$ $x$ ketika diberi akses ke oracleterbatas pada input dengan panjang maksimal $2^{2^{\sqrt{\log |x|}}}$ $O_1,O_2$ . (Ini bukan definisi lingkaran.) $2^{\sqrt{\log |x|}}$

Oracle didefinisikan dengan cara yang sama seperti oracle didefinisikan dalam Baker-Gill-Solovay: untuk setiap oracle clocked mesin Turing berjalan dalam waktu , kami menemukan beberapa panjang input yang merupakan "tak tersentuh", jalankan pada untuk langkah , dan untuk setiap kueri ke dengan ukuran , kami menandai bahwa input ini tidak ada di (untuk kueri lain, kami juga menandai bahwa input tidak ada di sana, kecuali kami sudah memutuskan bahwa itu di $O_2$ $M$ $T = 2^{o(\log^2 n)}$ $n$ $M$ $1^n$ $T$ $O_2$ $n$ $O_2$ ). Permintaan ke ditangani dengan cara yang sama (sebagai permintaan implisit ke ukuran yang lebih kecil, ditangani secara rekursif); perhatikan bahwa permintaan seperti itu tidak pernah menyebutkan string panjang dalam , karena $O_2$ $O_1$ $O_1,O_2$ $n$ $O_2$ . Jika mesin menerima, kami menandai semua string panjangdisebagai hilang, jika tidak kami memilih beberapa string dengan panjangdan memasukkannya ke dalam. $2^{\sqrt{\log T}} < n$ $n$ $O_2$ $n$ $O_2$

Kelas terdiri dari semua program yang berjalan dalam waktu $P^{O_1,O_2}$ , membuat kueri kedari ukuran $2^{2^{O(\sqrt{\log n})}}$ $O_1,O_2$ . Kelasadalah dalam bentuk, di mana, dan itu terkandung dalam kelas semua program yang berjalan dalam waktudan membuat permintaan oracle ukuran $2^{O(\sqrt{\log n})}$ $NP^{O_1,O_2}$ $x \mapsto \exists |y|<n^C \varphi(x,y)$ $\varphi \in P^{O_1,O_2}$ $2^{n^C}$ . Yang terakhir terkandung dalam, karena kita dapat menggunakanuntuk memutuskannya. Ini menunjukkan bahwa. $2^{O(\sqrt{\log n})}$ $\mathrm{TIME}(2^{\log^2 n^C})^{O_1,O_2}$ $O_1$ $NP^{O_1,O_2} \subseteq \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$

Untuk arah yang lain, misalkan menjadi bahasa yang terdiri dari untuk setiap sehingga berisi beberapa string dengan panjang . Dengan konstruksi , , sementara jelas . Ini menunjukkan bahwa $L$ $1^n$ $n$ $O_2$ $n$ $O_2$ $L \notin \mathrm{TIME}(2^{o(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$ $L \in NP^{O_1,O_2}$ . $NP^{O_1,O_2} = \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$

— Yuval Filmus
sumber

Saya harus mengakui bahwa saya tidak sepenuhnya memahami jawaban Anda, tetapi jika, seperti yang Anda sebutkan, beberapa masalah NP-lengkap

hanya dapat diselesaikan dalam

, maka semua masalah NPC lainnya juga hanya dapat diselesaikan dalam

, karena ada pengurangan waktu poli untuk mereka dari

, yang berarti kalau tidak Anda akan memiliki algoritma yang lebih baik untuk

. Ini menyiratkan misalnya

dan

bukan? Apa yang saya lewatkan?Π $\Pi$

Ω(2nc) $\Omega(2^{n^c})$

Ω(2nΩ(1)) $\Omega(2^{n^{\Omega(1)}})$

Π $\Pi$

QP≠NP $QP\neq NP$

ETH $ETH$

— R B

Well, it doesn't imply

ETH $ETH$ , but it does look it may imply

QP≠NP $QP\neq NP$ .

— R B

You're not missing anything. There is a relativized world in which ETH is true. There is another relativized world where P=NP, and so in particular ETH is false.

— Yuval Filmus

But not in all reletivized worlds in which

P≠NP $P\neq NP$ ,

$QP\neq NP$ is true as well, right? There is a chance that

$P\subsetneq QP = NP$ . From what I understood from your answer, if

$P\neq NP$ there exist a NPC problem whose lower bound is exponential, and I'm wondering why it's true.

— R B

In my answer I (purportedly) give a relativized world in which

$NP = \mathrm{TIME}(n^{O(\log n)})$ . Another relativized world has

$NP = \mathrm{TIME}(2^{n^{O(1)}})$ . In yet other relativized worlds,

$P=NP$ . Regarding

$QP$ , I don't claim anything about it.

— Yuval Filmus

Runtime terikat pada algoritma masalah lengkap NP dengan asumsi P ≠ NP

Tanpa mengasumsikan , , atau asumsi lain yang tidak tersirat oleh , dapatkah kita memberikan batasan yang lebih baik pada ?Q P ≠ N P E T H P ≠ N P L , UQP≠NPQP\neq NPETHETHP≠NPP\neq NPL,UL,U

Tanpa mengasumsikan , , atau asumsi lain yang tidak tersirat oleh , dapatkah kita memberikan batasan yang lebih baik pada ? $QP\neq NP$ $ETH$ $P\neq NP$ $L,U$