Pengaruh dimensi automata seluler pada kelas kompleksitas

Mari kita ambil contoh reduksi → → 2d 3d: Berapa biaya simulasi robot seluler 3d oleh robot seluler 2d?

Berikut adalah beberapa pertanyaan yang lebih spesifik:

1. Algoritma seperti apa yang akan mengubah kompleksitas waktu mereka, seberapa banyak?

2. Apa yang akan menjadi ide dasar untuk pengkodean; bagaimana grid 3d efisien (atau tidak efisien ...) dipetakan ke grid 2d? (Tantangannya tampaknya mencapai komunikasi antara dua sel yang awalnya bertetangga di kotak 3d, tetapi tidak bertetangga lagi di kotak 2d).

3. Secara khusus, saya tertarik pada penyimpangan kompleksitas untuk algoritma kompleksitas eksponensial (yang saya kira tetap eksponensial apa pun dimensinya, apakah itu masalahnya?)

Catatan: Saya tidak tertarik dengan kelas kompleksitas rendah yang mana metode I / O yang dipilih memiliki pengaruh pada kompleksitas. (Mungkin yang terbaik adalah mengasumsikan bahwa metode I / O tidak berdimensi: dilakukan secara lokal pada satu sel tertentu selama sejumlah variabel langkah waktu.)

Beberapa konteks: Saya tertarik dengan penulisan ulang grafik lokal paralel, tetapi grafik itu lebih dekat ke 3d (atau mungkin …d ...) dari pada ke 2d, saya ingin tahu apa yang diharapkan dari implementasi perangkat keras pada 2-dimensi. chip silikon.

Saya akan menjelaskan bagian dari artikel ini: Mensimulasikan 3D Cellular Automata dengan 2D Cellular Automata .

Mari kita mulai dengan pengkodean grid, fungsi . Secara intuitif tidak dapat mempertahankan jarak karena jumlah sel pada jarak kurang dari dari titik asal tidak akan sama. Anda akan perlu untuk menanamkan ini sekitar sel ke beberapa nomor yang sama sel tetapi yang akan entah bagaimana bentuk tapi kemudian Anda harus memiliki . Ini dan adalah sedikit seperti jari-jari gagasan lingkungan Anda menemukan di setiap robot seluler.$t:\mathbb Z^3 → \mathbb Z^2$$t$$R$$R^3$$r^2$$r>R$$r$$R$

Jadi transformasi artikel akan membuat segalanya pada dasarnya lebih besar dengan kekuatan minimal . Bahwa jika titik jauh dari di kotak pertama, mereka akan jauh dari setidaknya di kotak kedua. Sayangnya embedding yang diberikan hanya dalam .$3/2$$d$$O(\sqrt d^3)$$O(d^3)$

Namun, dan ini adalah komentar yang sangat penting, Anda tidak mendapatkan lingkungan yang sama daripada di robot pertama dan itulah mengapa saya sebelumnya mengatakan "agak mirip". Mengutip artikel:

jelas bahwa akan ada sel-sel yang sangat dekat di dan sedemikian rupa sehingga [pengkodeannya akan] secara sewenang-wenang jauh di$\mathbb Z^3$$\mathbb Z^2$

Itu juga berfungsi untuk waktu: waktu eksekusi satu langkah di bisa lama berubah dalam . Perhatikan bahwa pengkodean lebih merupakan simulasi: CA 2D penulis bahkan mensimulasikan perhitungan fungsi .$\mathbb Z^3$$\mathbb Z^2$$t:\mathbb Z^3 → \mathbb Z^2$

Ini adalah taruhan yang aman untuk mengatakan bahwa kompleksitas (dalam waktu) dari algoritma apa pun yang dijalankan pada CA 3D akan meledak ketika berlari pada pengkodean CA 3D ini menjadi CA 2D. Penulis mengatakan itu tidak dapat terikat oleh fungsi apa pun dalam simulasi. Dan saya katakan ledakan paling tidak eksponensial secara umum, karena waktu propagasi informasi tergantung pada posisi.

Gagasan menjalankan algoritma pada automata seluler tampaknya sudah agak aneh bagi saya, tapi itu pribadi. Namun itu tidak seberapa dibandingkan dengan ide implementasi otomat seluler ke dalam chip silikon, atau hanya saya?