Mengapa Turing kelengkapannya benar?

Saya menggunakan komputer digital untuk menulis pesan ini. Mesin semacam itu memiliki properti yang, jika Anda pikirkan, sebenarnya sangat luar biasa: Ini adalah mesin yang, jika diprogram dengan tepat, dapat melakukan perhitungan yang memungkinkan .

Tentu saja, mesin hitung dari satu jenis atau lainnya kembali ke jaman dahulu. Orang-orang telah membangun mesin yang untuk melakukan penjumlahan dan pengurangan (mis., Sempoa), perkalian dan pembagian (misalnya, aturan geser), dan lebih banyak mesin khusus domain seperti kalkulator untuk posisi planet-planet.

Hal yang mengejutkan tentang komputer adalah ia dapat melakukan perhitungan apa pun . Perhitungan apa pun. Dan semuanya tanpa harus me-rewire mesin. Hari ini semua orang menerima ide ini begitu saja, tetapi jika Anda berhenti dan memikirkannya, sungguh menakjubkan bahwa perangkat seperti itu mungkin.

Saya punya dua pertanyaan aktual :

Kapan umat manusia mengetahui bahwa mesin seperti itu mungkin? Pernahkah ada keraguan serius tentang apakah itu bisa dilakukan? Kapan ini diselesaikan? (Khususnya, apakah sudah diselesaikan sebelum atau setelah implementasi aktual pertama?)
Bagaimana para ahli matematika membuktikan bahwa mesin Turing-lengkap benar-benar dapat menghitung semuanya?

Yang kedua itu fiddly. Setiap formalisme tampaknya memiliki beberapa hal yang tidak dapat dihitung. Saat ini "fungsi yang dapat dihitung" didefinisikan sebagai "apa pun yang dapat dihitung oleh mesin Turing". Tetapi bagaimana kita tahu bahwa tidak ada mesin yang sedikit lebih kuat yang dapat menghitung lebih banyak barang? Bagaimana kita tahu bahwa mesin Turing adalah abstraksi yang benar?

computability turing-machines history

— Matematika Matematika
sumber

Komputer (dan model teoretis mereka, seperti mesin Turing) TIDAK BISA menghitung semuanya. Lihat misalnya, Masalah Pemutusan .

Jawaban untuk pertanyaan kedua: kami tidak membuktikan ini; ini masalah definisi; ternyata apa yang kita pikirkan secara intuitif "dapat dihitung" dapat dihitung oleh mesin Turing (atau apa pun yang setara). Klaim ini dikenal sebagai tesis Church-Turing .

— sdcvvc

Apa artinya membantah tesis Gereja-Turing?

— Artem Kaznatcheev

Mesin seperti PC Anda yang memiliki memori terbatas tidak setara dengan Turing. Mesin Turing memiliki pita tanpa batas yang berarti bahwa semakin lama perhitungan berlanjut, semakin banyak memori yang dapat mereka gunakan. PC tidak dapat melakukan perhitungan yang membutuhkan waktu terbatas tetapi membutuhkan penyimpanan lebih banyak daripada yang tersedia.

— Mike Samuel

@MikeSamuel ini adalah perbedaan pedantic dan mirip dengan mengatakan "ada sejumlah partikel di alam semesta, sehingga semuanya adalah keadaan terbatas". Ini adalah pernyataan yang benar, tetapi bukan yang bermanfaat. Jarang berguna untuk memodelkan komputer dunia nyata sebagai mesin keadaan terbatas.

— Artem Kaznatcheev

Jawaban:

Manusia meresmikan perhitungan dan mengembangkan dua sistem untuk itu pada tahun 1936 dengan makalah seminalis Gereja Alonzo pada -calculus $\lambda$ dan Alan Turing (yang hari ini, 23 Juni 2012, akan berusia 100 tahun jika bukan karena keadaan tercela yang mengarah pada kepergiannya yang lebih awal) pada apa yang kemudian dikenal sebagai mesin Turing. Kedua matematikawan itu memecahkan Entscheidungsproblem .

Meskipun makalah Gereja diterbitkan sedikit lebih awal, Turing tidak menyadarinya ketika ia mengembangkan ide-idenya, dan pendekatan Turing terbukti lebih berguna untuk desain mesin dunia nyata. Ini karena dia menunjukkan bagaimana merancang Mesin Universal Turing yang dapat diprogram untuk menjalankan komputasi apa pun. Mesin universal ini, dengan arsitektur beton yang didasarkan pada karya John von Neumann adalah ide dasar di balik mesin tempat Anda membaca jawaban saya.

Seperti yang Anda catat, computable didefinisikan sebagai "computable on a Turing machine" dan semua model perhitungan lain yang masuk akal telah terbukti setara dalam kekuatannya. Keyakinan bahwa semua model perhitungan yang masuk akal setara dengan masalah keputusan apa yang dapat mereka selesaikan dikenal sebagai tesis Church-Turing . Dalam bentuk aslinya, hampir sepenuhnya dipercaya oleh komunitas terpelajar. Sebenarnya tidak sepenuhnya jelas apa artinya membuktikan / membantah tesis Gereja-Turing ; dalam banyak hal itu menjadi pertanyaan empiris.

$\lambda$ Computable) komputasi kuantum masih setara dengan model Turing.

— Artem Kaznatcheev
sumber

Makalah Turing 1936, dibandingkan dengan karya Gereja pada waktu itu, jauh lebih meyakinkan dalam argumennya bahwa fungsi numerik apa pun yang dapat dihitung secara algoritmik oleh manusia dapat dihitung dengan mesin Turing. Formalisme Gereja jelas tidak memiliki properti itu, dan sampai hari ini pengurangan sistem komputasi lain untuk mesin Turing sangat penting karena analisis asli Turing tentang apa yang dapat dihitung mesin Turing.

— Carl Mummert

@CarlMummert Saya pasti setuju, tetapi pekerjaan Gereja harus disebutkan untuk kelengkapan. Juga, itu sama sekali tidak signifikan, sementara sebagian besar Teori A dibangun di sekitar TM, Teori B jauh lebih ramah lambda-calc. Jadi sebagian juga merupakan perbedaan budaya.

— Artem Kaznatcheev

Tunggu - jadi Anda mengatakan bahwa belum terbukti bahwa tidak ada sistem komputasi yang lebih kuat? Itu hanya asumsi ?

— MathematicalOrchid

@MathematicalOrchid semua wajar model perhitungan (wajar kira-kira berarti: pada satu waktu hanya bekerja pada bagian terbatas dari objek dan hanya melakukan satu dari finitely banyak pilihan) yang saya kenal dengan telah terbukti setara dengan mesin Turing.

— Artem Kaznatcheev

@MathematicalOrchid Untuk memberikan jawaban yang berpotensi lebih langsung untuk pertanyaan tindak lanjut Anda: benar, tidak ada yang membuktikan bahwa tidak ada model perhitungan yang masuk akal yang lebih kuat daripada TM. "Asumsi" adalah satu kata untuk itu; "hipotesis" adalah hal lain. Kita bisa bangun besok dan melihat tentang model komputasi baru yang lebih baik di CNN. Itu tidak mungkin, tetapi mungkin.

— Patrick87

-2

Ada alasan mengapa ini disebut Mesin Turing, dan itu karena diciptakan oleh Alan Turing. Dia membuat sebuah makalah 1936 di atasnya, membangun konsep-konsep ini. Jika Anda ingin tahu lebih banyak tentang Mesin Turing, periksa kertasnya. Itu sangat diragukan, sebelum dia merancang dan membangun yang memecahkan Enigma, bahwa konsep ini benar-benar bisa berfungsi. Namun Inggris sangat putus asa dan dia jenius, jadi mereka mempercayainya dan hasilnya sangat besar.

Namun, ketika Anda memikirkannya lagi, itu sama sekali tidak menakjubkan. Sudah diketahui jauh sebelum Turing bahwa semua matematika dapat dikurangi menjadi beberapa set aksioma. Yang harus Anda lakukan adalah memberikan instruksi mengatur kemampuan untuk melakukan aksioma ini, dan pergilah.

— Anak anjing
sumber

Turing tidak mendesain atau membuat teka-teki (meskipun ia merancang komputer lain yang tidak pernah dibuat). Paragraf kedua Anda dibuat dengan baik: banyak kegembiraan di sekitar waktu Turing (dan memang ini adalah poin dari makalahnya sendiri) terkait dengan batas perhitungan.

— Marcin

Kami memercayainya? Hanya sampai dia terbukti secara publik sebagai seorang homoseksual, maka kita membunuhnya karena itu. Juga telah terbukti bahwa ada serangkaian masalah yang dapat dinyatakan dalam kerangka aksiomatik yang tidak pernah dapat dibuktikan dengan aksioma tersebut.

@ TonyHopkinson: Saya tahu. Namun, tugas TM bukanlah menghitung semuanya , tetapi hanya menghitung apa yang bisa dihitung. Pernyataan Anda hanya mengatakan bahwa ada beberapa perhitungan yang tidak dapat dibuktikan benar. Itu tidak berarti bahwa mereka tidak dapat dilakukan.

@ Marsin: Saya tidak pernah menyiratkan bahwa Turing merancang atau membangun Enigma. Saya mengatakan bahwa dia memainkan peran penting dalam mesin yang memecahkan Enigma.

Jawaban ini salah . Turing tidak merancang TM untuk memecahkan teka-teki, ia membantu merancang Bombe yang merupakan mesin khusus untuk menyerang sandi Enigma dan tidak universal. Lebih lanjut, tidak diketahui bahwa matematika dapat direduksi menjadi beberapa set aksioma. Bahkan pada tahun 1931 Godel membuktikan sebaliknya dan pada ide-ide bukti inilah karya Turing didasarkan. Bahkan komentar pembuka tentang membaca karya asli Turing menyesatkan. Meskipun makalahnya bagus, jika Anda hanya ingin mempelajari dasar-dasarnya, buku pelajaran modern seperti Sipser lebih baik.

— Artem Kaznatcheev