Meminimalkan variasi total dari urutan pilihan diskrit

8

Setup saya adalah sesuatu seperti ini: Saya memiliki serangkaian set integer $C_i (1\leq i\leq n)$ , dengan $|C_i|$ relatif kecil - pada urutan empat atau lima item untuk semua $i$ . Saya ingin memilih urutan $x_i (1\leq i\leq n)$ dengan masing-masing $x_i\in C_i$ sedemikian rupa sehingga total variasi (baik $\ell_1$ atau $\ell_2$ yaitu $\sum_{i=1}^{n-1} |x_i-x_{i+1}|$ atau $\sum_{i=1}^{n-1} \left(x_i-x_{i+1}\right)^2$ ) diminimalkan. Sementara sepertinya pilihan untuk masing-masing $x_i$ bersifat 'lokal', masalahnya adalah bahwa pilihan dapat menyebar dan memiliki efek non-lokal sehingga masalah tersebut tampaknya bersifat global.

Perhatian utama saya adalah algoritma praktis untuk masalah ini; saat ini saya menggunakan metode anil berdasarkan mutasi singkat, dan sementara mereka seharusnya baik-baik saja sepertinya saya harus dapat melakukan lebih baik. Tapi saya juga tertarik pada kompleksitas abstrak - firasat saya adalah bahwa versi permintaan standar ('apakah ada solusi variasi total $\leq k$ ? ') akan menjadi NP-lengkap melalui pengurangan dari beberapa masalah kendala seperti 3-SAT tapi saya tidak bisa melihat pengurangannya. Petunjuk apa pun untuk studi sebelumnya akan disambut baik - sepertinya masalah alami yang saya tidak percaya itu belum pernah dilihat sebelumnya, tetapi pencarian saya sejauh ini belum menemukan sesuatu yang seperti itu.

algorithms complexity-theory optimization

— Steven Stadnicki
sumber

Pertanyaan bagus! Hanya pertanyaan klarifikasi: panjang

x_{i}

$x_i$ adalah

n

$n$ , tetapi harus Anda memilih beberapa elemen dari masing-masing

C_{i}

$C_i$ ? Atau tidak apa-apa untuk memiliki beberapa set dari mana Anda tidak memilih sama sekali?

— Juho

@ mrm Harus ada elemen dari masing-masing

C_{i}

$C_i$ - itu

x

$x$ s langsung diindeks dari

1 \dots n

$1\ldots n$ sama seperti

C

$C$ adalah.

— Steven Stadnicki

4

Ini adalah program yang dinamis. Asumsikan bahwa $C_i = \{C_{i_1}, \ldots, C_{i_m}\}$ untuk semua $i \in [n]$ demi kejelasan; berikut ini dapat disesuaikan untuk bekerja jika $C_i$ memiliki kardinalitas yang berbeda. Membiarkan $\operatorname{Cost}(i, j)$ menjadi biaya minimum dari urutan di atas yang pertama $i$ set, diakhiri dengan $C_{i_j}$ . Rekursi berikut menjelaskan $\operatorname{Cost}$ :

$\qquad \displaystyle \begin{align} \operatorname{Cost}(1,j) &= 0 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad, 1\leq j \leq m \\ \operatorname{Cost}(i,j) &= \min_{k = 1}^m \left(\operatorname{Cost}(i - 1, k) + \lvert C_{(i-1)_k} - C_{i_j} \rvert\right) \ , 2 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m. \end{align}$

Biaya minimum keseluruhan adalah $\min_{j = 1}^m \text{Cost}(n, j)$ ; urutan pilihan yang sebenarnya dapat ditentukan dengan memeriksa argumen di sepanjang jalan. Runtime adalah $O(nm)$ .

— tagihan
sumber

Saya mencoba meningkatkan kejelasan jawaban Anda baik dalam format maupun presentasi; tolong periksa bahwa saya tidak mengacaukan segalanya. Alangkah baiknya jika Anda memasukkan argumen mengapa apa yang Anda usulkan adalah benar.

— Raphael

Mempertimbangkan jawaban Nicholas , ini mirip dengan algoritma Bellman-Ford, yang disesuaikan dengan masalah yang dihadapi.

— Raphael

Kedua jawaban itu benar-benar luar biasa (dan seperti yang dicatat Raphael, sangat mirip), tetapi sementara saya menyukai penerapan yang luas dari yang lain, saya benar-benar lebih suka yang satu ini untuk aplikasi langsung ke pertanyaan khusus saya. Terima kasih!

— Steven Stadnicki

4

Tampaknya ini dapat diselesaikan dengan hanya menghitung jalur terpendek dalam grafik asiklik terarah. Alasannya adalah bahwa fungsi tujuan Anda meminimalkan jarak total antara "tetangga" yang dipilih dalam set Anda $\mathcal{C} = \{C_1, \dotsc, C_n\}$ .

Bangun sebuah $n$ Grafik -tahap $G = (\bigcup_{i=1}^n V_i, E)$ dimana masing-masing $v \in V_i$ sesuai dengan elemen unik $x \in C_i$ . Untuk setiap $u \in V_i, v \in V_{i+1}$ , tambahkan tepi terarah $(u, v)$ biaya menjadi $\ell_1$ atau $\ell_2$ jarak.

Sekarang tambahkan sumber simpul $s$ dengan tepi 0-biaya untuk $V_1$ dan simpul wastafel $t$ dengan tepi 0-biaya dari $V_n$ . Mengingat bahwa $G$ adalah DAG dan kedua fungsi jarak memaksa biaya ujung menjadi non-negatif, Anda dapat menghitung jalur terpendek dalam $O(V + E)$ dengan pengurutan topologi dan pemrograman dinamis (mirip dengan uraian di sini ).

— Nicholas Mancuso
sumber