Buktikan bahwa setiap dua jalur terpanjang memiliki setidaknya satu titik yang sama

Jika grafik $G$ terhubung dan tidak memiliki jalan dengan lebih panjang daripada , membuktikan bahwa setiap dua jalur di panjang memiliki setidaknya satu titik kesamaan. $k$ $G$ $k$

Saya berpikir bahwa simpul umum harus di tengah-tengah kedua jalur. Karena jika ini tidak terjadi maka kita dapat memiliki jalur panjang . Apakah saya benar? $>k$

graph-theory graphs combinatorics

— Saurabh
sumber

Contohcontoh untuk grafik berarah yang tidak terhubung kuat: simpul

A, B, C, D

$A,B,C,D$ , tepi

A \to C

$A \to C$ ,

A \to D

$A \to D$ ,

B \to D

$B \to D$ , jalur

A \to C

$A \to C$ dan

B \to D

$B \to D$ tidak memiliki simpul umum.

— sdcvvc

@ sdcvvc, Anda bisa memberikannya sebagai jawaban.

@ sdcvvc Saya kira pertanyaan dibatasi untuk grafik tidak terarah.

— Raphael

Bisakah Anda mengonfirmasi (atau menegaskan) bahwa

adalah grafik yang tidak diarahkan dan Anda hanya mempertimbangkan jalur sederhana (= bebas siklus)?

G

$G$

— Gilles 'SO- stop being evil'

@Gilles Ya grafik tidak terarah dan jalur berjalan di mana mengandung tepi dan simpul yang berbeda.

— Saurabh

Jawaban:

Asumsikan untuk kontradiksi bahwa $P_{1} = \langle v_{0},\ldots,v_{k}\rangle$ dan $P_{2} = \langle u_{0},\ldots,u_{k}\rangle$ dua jalur di $G$ panjang $k$ tanpa simpul bersama.

Ketika $G$ terhubung, ada jalur $P'$ menghubungkan $v_{i}$ ke $u_{j}$ untuk beberapa $i,j \in [1,k]$ sehingga $P'$ tidak berbagi simpul dengan $P_{1} \cup P_{2}$ selain $v_{i}$ dan $u_{j}$ . Katakanlah $P' = \langle v_{i},x_{0},\ldots,x_{b},u_{j}\rangle$ (catatan bahwa mungkin tidak ada $x_{i}$ simpul, yaitu, $b$ mungkin $0$ - notasi adalah sedikit kekurangan meskipun).

Tanpa kehilangan sifat umum kita dapat mengasumsikan bahwa $i,j \geq \lceil\frac{k}{2}\rceil$ (kami selalu dapat membalikkan penomoran). Kemudian kita dapat membangun jalan baru $P^{*} = \langle v_{0},\ldots,v_{i},x_{1},\ldots,x_{b},u_{j},\ldots,u_{0}\rangle$ (dengan pergi bersama $P_{1}$ ke $v_{i}$ , kemudian menyeberangi jembatan dibentuk oleh $P'$ ke $u_{j}$ , lalu sepanjang $P_{2}$ hingga $u_{0}$ ).

Jelas $P^{*}$ memiliki panjang setidaknya $k+1$ , tetapi ini bertentangan dengan asumsi bahwa $G$ tidak memiliki jalur panjang lebih besar dari $k$ .

Jadi, maka setiap dua jalur dengan panjang $k$ harus berpotongan setidaknya satu titik dan pengamatan Anda bahwa itu harus di tengah (jika hanya ada satu) mengikuti saat Anda beralasan.

— Luke Mathieson
sumber

Saya pikir Anda perlu

, kalau tidak jalur baru belum tentu lagi. Perhatikan bahwa

dimungkinkan.

j \leq ⌊ \frac{k}{2} ⌋

$j \leq \lfloor\frac{k}{2}\rfloor$

b = 0

$b=0$

— Raphael

@Raphael Ya, saya tidak secara eksplisit menyatakannya (dan menggunakan notasi yang sedikit menyesatkan), tetapi

bisa dengan senang hati menjadi

, jembatan selalu menambahkan setidaknya satu sisi, meskipun jika satu-satunya simpul dalam

adalah

dan

. Pada poin pertama, perhatikan bahwa saya telah membuat path dari

, jadi

b

$b$

0

$0$

P^{'}

$P'$

v_{i}

$v_{i}$

u_{j}

$u_{j}$

v_{0} \to v_{i} \to u_{j} \to u_{0}

$v_{0} \rightarrow v_{i} \rightarrow u_{j}\rightarrow \mathbf{u_{0}}$

benar. Jika pergi ke

maka

j \geq ⌈ \frac{k}{2} ⌉

$j \geq \lceil\frac{k}{2}\rceil$

u_{k}

$u_{k}$

j \leq ⌊ \frac{k}{2} ⌋

$j \leq \lfloor\frac{k}{2}\rfloor$

Anda benar bahwa simpul umum harus terjadi di tengah-tengah kedua jalur.

Namun intuisi itu tidak akan menyelesaikan masalah aktual yang Anda coba selesaikan.

Alih-alih mencoba untuk menunjukkan bahwa, mengingat titik mana pun di jalur, segmen jalur dari (dan termasuk) yang mengarah ke salah satu ujung jalur asli harus benar-benar memiliki lebih dari setengah node sebanyak jalur penuh.

Setelah Anda menunjukkan itu, Anda akan bisa menyelesaikan masalah yang Anda tanyakan dan memverifikasi dugaan Anda.

— btilly
sumber