Menghitung jumlah bit dari kekuatan integer yang besar

Diberikan dua bilangan bulat dan dalam representasi biner, apa kompleksitas komputasi bit-size ? $x$ $n$ $x^n$

Salah satu cara untuk melakukannya adalah dengan menghitung dengan menghitung perkiraan dengan presisi yang cukup. Tampaknya menghitung dengan bit precision dapat dilakukan dalam mana $1+\lfloor \log_2(x^n)\rfloor=1+\lfloor n\log_2(x)\rfloor$ $\log_2(x)$ $\log_2(x)$ $k$ $O(M(k)\log k)$ adalah waktu yang dibutuhkan untuk menghitung produk dari dua bilangan bulat panjang . Ini menghasilkan algoritma (tidak khusus sederhana) kompleksitas sekitar jika terikat pada bitsize baik dan (jika saya tidak membuat kesalahan). $M(k)$ $k$ $O(s\log^2 s)$ $s$ $x$ $n$

Bisakah kita mengalahkan mana adalah ukuran dan (dalam kasus di mana mereka memiliki ukuran yang sebanding)? Apakah ada algoritma sederhana untuk mendapatkan kompleksitas ini atau lebih baik? $O(s\log^2(s))$ $s$ $x$ $n$

Catatan: Saya tertarik pada kompleksitas dalam model teoretis seperti mesin Turing.

complexity-theory time-complexity binary-arithmetic

— Bruno
sumber

sarankan bermigrasi / "mempromosikan" ini ke Theoretical Computer Science

— vzn

@ vz: Saya rasa ini tidak berguna ...

— Bruno

kenapa tidak? pertanyaan ini mengingatkan saya pada serangan algoritmik pada dugaan Dysons misalnya yang dibahas oleh RJLipton dalam 1 , 2

— vzn

Hanya karena saya menemukan jawaban untuk pertanyaan saya, jadi tidak perlu menanyakannya di tempat lain di pikiran saya.

— Bruno

[Sunting] Seperti yang disarankan, saya mengedit jawaban saya untuk memberikan rincian lebih lanjut.

Jawaban untuk pertanyaan kedua saya adalah tidak :

Dalil. Menghitung hingga presisi setidaknya sama sulitnya dengan menghitung bit-ukuran . $\log(x)$ $k$ $x^{2^k}$

Bukti. Biarkan menunjukkan ukuran bit integer . Pemberitahuan pertama bahwa untuk bilangan bulat non-negatif , ukuran bit adalah . $|y|$ $y$ $y$ $y$ $1+\lfloor \log y\rfloor$

Jadi, . Sekarang adalah menggeser posisi ke kiri. Dengan demikian seseorang dapat menghitung $\left|x^{2^k}\right| = 1+\lfloor 2^k\log x\rfloor$ $2^k\log(x)$ $\log(x)$ $k$ ke presisi hanya dengan mengurangi ke ukuran bit dan menggeser posisi hasil ke kanan. $\log(x)$ $k$ $1$ $x^{2^k}$ $k$

— Bruno
sumber

Mengapa jumlah bit dalam

memungkinkan Anda menghitung

bit dengan presisi? Apakah pengurangan Anda benar-benar berhasil? Bagaimana jika kasus khusus di mana

x^{2^{k}}

$x^{2^k}$

\log x

$\log x$

k

$k$

n = 2^{k}

$n=2^k$ jauh lebih mudah / lebih sulit daripada semua nilai

lainnya yang mungkin (bukan-kekuatan-dua)? Apakah Anda memiliki cara untuk mengesampingkan kemungkinan itu?

n

$n$

— DW

@ WD: Saya kembali ke pertanyaan ini, setelah komentar vzn.

adalah sebagai berikut: Jumlah bit integer

adalah

. Jadi, jumlah bit dalam

adalah

. Selanjutnya,

sama dengan

tetapi menggeser posisi

ke kiri. Jadi,

memberi Anda (setidaknya) bit pertama

y

$y$

1 + ⌊ \log y ⌋

$1+\lfloor\log y\rfloor$

x^{2^{k}}

$x^{2^k}$

1 + ⌊ 2^{k} \log x ⌋

$1+\lfloor 2^k\log x\rfloor$

2^{k} \log x

$2^k\log x$

\log x

$\log x$

k

$k$

⌊ 2^{k} \log x ⌋

$\lfloor 2^k\log x\rfloor$

k

$k$

. Jadi, jika Anda dapat menghitung jumlah bit

, dengan mengurangi

pada hasilnya, Anda mendapatkanbit

pertamadari

. Apakah ini masuk akal?

\log x

$\log x$

x^{2^{k}}

$x^{2^k}$

1

$1$

k

$k$

\log x

$\log x$

— Bruno

Ya, itu lebih masuk akal bagi saya! Terutama karena Anda hanya berusaha menunjukkan kekerasan. Bolehkah saya mendorong Anda untuk memperbarui jawaban Anda dengan penjelasan yang lebih terperinci ini? Terima kasih telah kembali ke ini dan mendokumentasikan jawaban untuk pertanyaan Anda sendiri.

— DW