Apa itu dalam kalkulus konstruksi?

Saya melihat Kalkulus Konstruksi dan tempatnya di Kubus Lambda .

Jika saya mengerti dengan benar, setiap sumbu kubus dapat dianggap sebagai menambahkan operasi lain yang melibatkan jenis ke kalkulus yang diketik sederhana, $\lambda_\to$ . Sumbu pertama menambahkan operator tipe-ke-istilah, operator tipe-ke-tipe kedua, dan operator mengetik-ketiga, atau operator tipe-ke-tipe. CoC memiliki ketiganya.

Namun, CoC memperkenalkan Prop istilah $Prop$, dan menyatakan bahwa $Prop : Type$ oleh aturan inferensi , tetapi sebaliknya tidak digunakan. Saya mengerti bahwa ini untuk proposisi eponymous, tetapi proposisi logis tidak didefinisikan dalam hal itu.

Bisakah Anda menjelaskan kepada saya untuk apa $Prop$ , di mana / kapan itu muncul, dan menjelaskannya dalam kaitan dengan sumbu kubus (jika memang mungkin untuk melakukannya)?

Dalam teori tipe tradisional Martin-Lof tidak ada perbedaan antara tipe dan proposisi. Ini berjalan di bawah slogan "proposisi sebagai tipe". Namun terkadang ada alasan untuk membedakannya. CoC melakukan hal itu.

Ada banyak varian CoC, tetapi sebagian besar memiliki tetapi tidak . Perbedaan lain muncul ketika kita memiliki banyak jenis alam semesta yang tak terhingga dan membuat impredikatif (ini adalah apa yang dilakukan Coq). Secara konkret, pertimbangkan varian CoC di mana kita memiliki dan banyak tipe alam semesta , , dengan Aturan pembentukan untuk

$$\mathsf{Prop} : \mathsf{Type}$$ $\mathsf{Type} : \mathsf{Prop}$$\mathsf{Prop}$$\mathsf{Prop}$$\mathsf{Type}_1$T y p e 3 P r o $\mathsf{Type}_2$$\mathsf{Type}_3$ ∏∏x:AB(x)AB(x $$\begin{align*} \mathsf{Prop} &: \mathsf{Type}_1 \\ \mathsf{Type}_1 &: \mathsf{Type}_2 \\ \mathsf{Type}_2 &: \mathsf{Type}_3 \\ &\vdots \end{align*}$$ $\prod$harus menjelaskan cara membentuk ketika merupakan proposisi atau tipe, dan adalah proposisi atau tipe. Ada empat kombinasi:$\prod_{x : A} B(x)$$A$$B(x)$

1. $$\frac{A : \mathsf{Prop} \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Prop}} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Prop}}$$
2. $$\frac{A : \mathsf{Type}_i \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Prop}} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Prop}}$$
3. $$\frac{A : \mathsf{Prop} \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Type}_i} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Type}_i}$$
4. $$\frac{A : \mathsf{Type}_i \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Type}_j} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Type}_{\max(i,j)}}$$

Yang paling menarik adalah perbedaan antara kasus kedua dan keempat. Aturan keempat mengatakan bahwa jika ada di alam semesta ke- dan ada di alam semesta ke- , maka produknya ada di alam semesta ke- . Tapi aturan kedua memberitahu kita bahwa adalah bukan hanya "satu alam semesta yang lebih di bagian bawah", karena mendarat di secepat tidak, tidak peduli seberapa besar adalah. Hal ini impredicative karena memungkinkan kita untuk menentukan unsur-unsur$A$$i$$B(x)$$j$$\max(i,j)$$\mathsf{Prop}$$\prod_{x : A} B(x)$$\mathsf{Prop}$$B(x)$$A$$\mathsf{Prop}$dengan menghitung lebih dari itu sendiri.$\mathsf{Prop}$

Contoh konkretnya adalah versus Produk pertama hidup di , tetapi yang kedua adalah di (dan tidak di , meskipun kami menghitung unsur ). Secara khusus, ini berarti bahwa salah satu nilai yang mungkin untuk adalah itu sendiri.

$$\prod_{A : \mathsf{Type}_1} A \to A$$ $$\prod_{A : \mathsf{Prop}} A \to A$$ $\mathsf{Type}_2$$\mathsf{Prop}$$\mathsf{Type}_1$$\mathsf{Type}_1$$A$$\prod_{A : \mathsf{Prop}} A \to A$