Kompleksitas komputasi

Apa kompleksitas komputasi ?$n^{n^2},\;n \in \mathbb{N}$

Dengan menggunakan transformasi Fourier cepat, perkalian pada bilangan bit dapat dilakukan dalam waktu (di mana tilde menandakan bahwa kita mengabaikan faktor polylogaritmik). Dengan kuadrat berulang, kita dapat menghitung dengan perkalian , dan setiap perkalian tidak melibatkan angka yang lebih besar dari , yang memiliki kira-kira bit. Jadi jumlah total waktu yang diperlukan adalah .$k$$\tilde{O}(k)$$n^{n^2}$$O(\log n)$$n^{n^2}$$n^2 \log_2 n$$\tilde{O}(n^2(\log n)^2)=\tilde{O}(n^2)$

Diedit dalam menanggapi komentar Waktu untuk menghitung dapat didekomposisi menjadi waktu yang diperlukan untuk menghitung dan yang diperlukan untuk melakukan . Saya akan berasumsi bahwa mengalikan angka sedikit dengan angka sedikit membutuhkan waktu tepat dengan metode buku sekolah; tambahan, dll. adalah waktu yang konstan. Akibatnya, komputasi membutuhkan waktu.$f(n) = n^{n^2}$$f_1(n) = n^2$$n ^ {f_1(n)}$$m$$n$$mn$$n^2$$\log_2^2 (n)$

Misalkan kita menggunakan eksponen biner untuk komputasi . Binary exponentiation melakukan dua jenis operasi dalam komputasi : mengkuadratkan produk saat ini, dan mengalikan produk saat ini dengan , sesuai dengan apakah bit saat ini dalam ekspansi biner adalah 0 atau 1. Dalam kasus terburuk , adalah kekuatan dua, sehingga eksponensial biner berulang kali mengkuadratkan produknya saat ini hingga mencapai jawaban. Perhatikan bahwa memiliki bit, sehingga jumlahnya kuadrat tersebut adalah . Ini adalah kasus yang kami analisis lebih lanjut di bawah ini.$f(n)$$f(n)$$n$$n^2$$n^2$$n^2$$m'=\lceil 2 \log_2(n) \rceil$$m= m'-1$

pertama membutuhkan waktu , menghasilkan -bit produk. kedua mengambil dua angka bit dan berjalan dalam waktu , menghasilkan produk -bit. Melanjutkan, langkah ke- membutuhkan waktu dan menghasilkan -bit produk. Proses ini berhenti pada langkah ke- ; Akibatnya, butuh waktu$t_1=\log_2^2(n)$$o_1=2 \log_2(n)$$o_1$$t_2=o_1^2$$o_2=2o_1$$i$$t_i = 4^{i-1}\log^2_2 n$$o_i=2^{i} \log_2 (n)$$m$

$T _{exp} =\sum _{[1..m]} t_i = \log_2 ^2 (n) \sum_{[1..m]} 4^i = \frac{4^m -1} {3} \log_2 ^2 n$ .

Ketika biaya kuadrat awal sudah termasuk, kami merasa kami membutuhkan waktu paling banyak

${T_{exp} + \log_2^2{n}}$

Catatan

• Saya menghilangkan beberapa lantai dan langit-langit dalam perhitungan, berharap itu tidak akan mempengaruhi jawaban secara material.
• Saya sengaja menghilangkan analisis berbasis- demi batas atas yang tepat hanya untuk menjadi keras. $O$
• Alasan di atas juga menjelaskan mengapa analisis saya sebelumnya cacat. The notasi yang digunakan dalam cara yang cepat-dan-lepas, dan itu mudah dihilangkan konstanta sehingga, misalnya, ajaib menjadi . $O$$\sum t_i$$O(\log n)$
• Perkalian dapat selalu dipercepat dengan FFT dan metode lainnya.