Masalah umum 3SUM (k-SUM)?

Masalah 3SUM mencoba mengidentifikasi 3 bilangan bulat dari himpunan dengan ukuran sehingga .S n a + b + c = $a,b,c$$S$$n$$a + b + c = 0$

Diduga bahwa tidak ada solusi yang lebih baik daripada kuadratik, yaitu . Atau dengan kata lain: .o ( n log ( n ) + n 2$\mathcal{o}(n^2)$$\mathcal{o}(n \log(n) + n^2)$

Jadi saya bertanya-tanya apakah ini akan berlaku untuk masalah umum: Cari integer untuk dalam himpunan ukuran sehingga . i ∈ [ 1 .. k ] S n ∑ i ∈ [ 1 .. k ] a i = $a_i$$i \in [1..k]$$S$$n$$\sum_{i \in [1..k]} a_i = 0$

Saya pikir Anda dapat melakukan ini di untuk k \ geq 2 (mudah untuk menggeneralisasi algoritma k = 3 sederhana). Tetapi apakah ada algoritma yang lebih baik untuk nilai k lainnya ?k ≥ 2 k = 3 $\mathcal{o}(n \log(n) + n^{k-1})$$k \geq 2$$k=3$
$k$

$k$ -SUM dapat diselesaikan lebih cepat sebagai berikut.

• Untuk genap $k$ : Hitung daftar $S$ diurutkan dari semua jumlah elemen input $k/2$ . Periksa apakah $S$ mengandung angka $x$ dan negasi $-x$ . Algoritma berjalan dalam waktu $O(n^{k/2}\log n)$ .

• Untuk odd $k$ : Hitung daftar $S$ diurutkan dari semua jumlah elemen input $(k-1)/2$ . Untuk setiap elemen input $a$ , periksa apakah $S$ berisi $x$ dan $-a-x$ , untuk beberapa angka $x$ . (Langkah kedua pada dasarnya adalah algoritma waktu $O(n^2)$ untuk 3SUM.) Algoritma ini berjalan dalam waktu $O(n^{(k+1)/2})$ .

Kedua algoritma adalah optimal (kecuali mungkin untuk faktor log ketika $k$ adalah lebih besar dan lebih besar dari $2$ ) untuk setiap konstanta $k$ dalam batasan tertentu yang lemah tapi alami dari model pohon keputusan linear perhitungan. Untuk detail lebih lanjut, lihat:

• Nir Ailon dan Bernard Chazelle. Batas bawah untuk pengujian degenerasi linier . JACM 2005.

• Jeff Erickson. Batas bawah untuk masalah kepuasan linear . CJTCS 1999.

n Ω ( d ) 2 o ( n $d$ -SUM membutuhkan waktu kecuali k-SAT dapat diselesaikan dalam waktu untuk konstanta k. Ini ditunjukkan dalam sebuah makalah oleh Mihai Patrascu dan Ryan Williams (1).$n^{\Omega(d)}$$2^{o(n)}$

Dengan kata lain, dengan asumsi hipotesis waktu eksponensial , algoritma Anda optimal hingga faktor konstan dalam eksponen (faktor polinomial dalam )$n$

(1) Mihai Patrascu dan Ryan Williams. Tentang Kemungkinan Algoritma SAT Lebih Cepat. Proc Simposium ACM / SIAM ke 21 tentang Algoritma Diskrit (SODA2010)

Berikut adalah beberapa pengamatan sederhana.

Untuk , Anda dapat melakukannya dalam waktu dengan memindai array untuk nol. Untuk , Anda dapat melakukannya tanpa hashing dalam waktu . Sortir array lalu pindai. Untuk setiap elemen melakukan pencarian biner untuk . Ini menghasilkan kompleksitas total . Untuk kasus Anda dapat melakukannya dalam waktu dengan mengakumulasi array dan memeriksa hasilnya.Θ ( n ) k = 2 Θ ( n log n ) i - i Θ ( n log n ) k = n Θ ( n $k=1$$\Theta(n)$$k=2$$\Theta(n \log n)$$i$$-i$$\Theta(n \log n)$$k=n$$\Theta(n)$

Untuk beberapa referensi lainnya, lihat halaman Proyek Masalah Terbuka untuk 3SUM .

Lihat http://arxiv.org/abs/1407.4640

Algoritma baru untuk memecahkan masalah rSUM Valerii Sopin

Abstrak:

Algoritme yang ditentukan disajikan untuk menyelesaikan masalah rSUM untuk setiap r alami dengan penilaian sub-kuadrat kompleksitas waktu dalam beberapa kasus. Dalam hal jumlah memori yang digunakan, algoritma yang diperoleh juga memiliki urutan sub-kuadrat. Gagasan algoritma yang diperoleh didasarkan tidak mempertimbangkan angka integer, melainkan k∈N bit berturut-turut dari angka-angka ini dalam sistem numerasi biner. Terlihat bahwa jika jumlah bilangan bulat sama dengan nol, maka jumlah bilangan yang disajikan oleh k bit berturut-turut dari angka-angka ini harus cukup "dekat" dengan nol. Ini memungkinkan untuk membuang angka-angka, yang fortiori, tidak menentukan solusinya.

Ini adalah sesuatu yang baru dalam masalah ini.