Apakah set mesin Turing yang berhenti paling banyak 50 langkah pada semua input, dapat dipilih?

Mari $F = \{⟨M⟩:\text{M is a TM which stops for every input in at most 50 steps}\}$ . Saya perlu memutuskan apakah F dapat dipilih atau dihitung secara rekursif. Saya pikir itu dapat diperhitungkan, tetapi saya tidak tahu bagaimana membuktikannya.

Pikiran saya

Bagian "50 langkah" ini langsung mengubah tanda R untuk saya. Jika itu untuk input spesifik maka akan dapat ditentukan. Namun, ini untuk setiap input. Memeriksa input yang tak terbatas membuat saya berpikir bahwa masalahnya adalah co-RE , yaitu komplemennya dapat diterima.

Mungkin, saya dapat memeriksa konfigurasi dan melihat bahwa semua konfigurasi setelah 50 langkah tidak mengarah untuk menerima status - bagaimana saya melakukannya?

$N$$N \geqslant 1$

Seperti yang dikatakan swegi dalam respons sebelumnya, jika mesin berhenti setelah paling banyak langkah, maka hanya sel pada kaset yang signifikan. Kemudian cukup untuk mensimulasikan mesin pada semua string input dari bentuk , di mana ada jumlah yang terbatas.$N$$0,1,\ldots,N-1$$M$$x \in \Sigma^N$

• Jika salah satu dari simulasi ini gagal memasuki keadaan terputus-putus olehtransisi, ini menunjukkan bahwa setiap string input yang dimulai dengan adalah string yang mesinnya tidak berhenti dalam langkah-langkah pertama .$N^{\text{th}}\:\!$$x$$N$
• Jika semua simulasi ini dihentikan olehtransisi, kemudian berhenti di dalam langkah pada semua input dari panjang apa pun (yang substring panjang adalah semua yang pernah ditindaklanjuti)$N^{\text{th}}\:\!$$M$$N$$N$

Jika berhenti dalam tidak lebih dari 50 langkah, dari posisi M dapat mencapai pada pita yang biasanya tak terbatas terbatas. Dengan demikian pita tak terbatas dapat disimulasikan oleh yang terbatas. Ini berarti bahwa rekaman itu dapat disimulasikan oleh otomat terbatas. Ini mengikuti bahwa mesin turing M yang berhenti di tidak lebih dari 50 langkah adalah bisimilar untuk beberapa terbatas automaton M ' .$M$$M$$M$$M'$

Misalkan adalah himpunan status M , F ⊂ Q himpunan status penerimaan dan Γ menjadi alfabet. Kemudian kita membangun set negara Q ' dari M ' sebagai berikut: Q ' = { ⟨ n , q , s , p , a $Q$$M$$F \subset Q$$\Gamma$$Q'$$M'$ mana p adalah posisi head baca / tulis di atas kaset. Kita bisa membatasi posisi untuk { - 50 , . . . , 50 } karena jumlah langkah komputasi yang diizinkan membatasi jumlah posisi yang dapat dijangkau.$Q' = \{ \langle n, q, s, p, a\rangle \, | n \in \{0,...,50\} \, q \in Q, s \in \Gamma, p \in \{-50,...,50\}, a \equiv q \in F\}$$p$$\{-50,...,50\}$

Memiliki negara dari robot yang terbatas M ' maka berarti bahwa kita berada di negara q dari otomat asli, dengan s pada pita pada posisi p mana juga membaca / menulis kepala diposisikan , setelah langkah komputasi ke- n . Negara adalah salah satu yang menerima jika suatu ≡ t r u e .$\langle n, q, s, p, a\rangle$$M'$$q$$s$$p$$n$$a \equiv true$

Mengubah hubungan transisi dari mesin turing beton adalah pekerjaan yang sedikit lebih tetapi tidak diperlukan untuk pertanyaan asli, karena cukup untuk menunjukkan bahwa ruang keadaan terbatas (dan dengan demikian kita bisa menguji setiap input dengan panjang paling banyak 50 simbol pada setiap otomat seperti itu). Idenya adalah untuk membangun hubungan transisi baru yang berlangsung dari keadaan ke keadaan ⟨ n + 1 , q ' , s ' , p ' , sebuah ' ⟩ di $\langle n, q, s, p, a \rangle$$\langle n+1, q', s', p', a'\rangle$$n$-th langkah IFF transisi komputasi adalah dalam hubungan transisi asli.$\langle q, s, p\rangle \rightarrow \langle q', s', p'\rangle$