Subset jumlah masalah dengan banyak kondisi keterbagian

Biarkan $S$ menjadi satu set bilangan alami. Kami menganggap $S$ dalam urutan parsial yang dapat dibagi, yaitu $s_1 \leq s_2 \iff s_1 \mid s_2$ . Membiarkan

$\qquad \displaystyle \alpha(S) = \max \{|V| \mid V\subseteq S, V$ barangantik$\}$.

Jika kita mempertimbangkan masalah jumlah bagian di mana multiset angka berada di $S$ , apa yang bisa kita katakan tentang kompleksitas masalah yang terkait dengan $\alpha(S)$ ? Sangat mudah untuk melihat apakah $\alpha(S)=1$ , maka masalahnya mudah. Perhatikan mudah bahkan untuk masalah ransel yang lebih sulit ketika ^†$\alpha(S)=1$^$\dagger$ .

---

$\dagger$ Memecahkan masalah ransel berurutan oleh M. Hartmann dan T. Olmstead (1993)

Masalah ini dapat diselesaikan dalam waktu polinomial menggunakan pemrograman linier, dan ini sebenarnya berlaku untuk urutan parsial apa pun . Ngomong-ngomong, kita dapat membuktikan dengan induksi bahwa untuk setiap set urutan parsial terbatas (S, \ le) , terdapat himpunan terhingga S '\ subseteq \ mathbb {N} dan sebuah bijection f: S \ rightarrow S' , sehingga untuk semua s_1, s_2 \ dalam S, s_1 \ le s_2 \ Leftrightarrow f (s_1) | f (s_2) .( S , ≤ ) S ′ ⊆ N f : S → S ′ s 1 , s 2 ∈ S , s 1 ≤ s 2 ⇔ f ( s 1 ) | f ( s 2$(S,\le)$$(S,\le)$$S'\subseteq\mathbb{N}$$f:S\rightarrow S'$$s_1,s_2\in S, s_1\le s_2 \Leftrightarrow f(s_1) | f(s_2)$

Mari adalah himpunan yang dibentuk oleh rantai di . Ingatkan bahwa adalah sebuah rantai iff untuk semua dalam , atau S C v , v ′ C v ≤ v ′ v ′ ≤ $\mathcal{C}$$S$$C$$v,v'$$C$$v\le v'$$v'\le v$

Sekarang membuat variabel boolean untuk setiap , dan variabel boolean untuk setiap rantai . Kita dapat menulis program linear berikut untuk masalah kita: v ∈ S y C C ( P ) Max Σ v ∈ S x v tunduk Σ v ∈ C x v ≤ 1 , ∀ C ∈ $x_v$$v\in S$$y_C$$C$$(P)$

$$\begin{split} \text{Max} \displaystyle\sum\limits_{v\in S} x_v \\ \text{subject to} \displaystyle\sum\limits_{v\in C} &x_v \le 1, \forall C\in\mathcal{C}\\ &x_v \in \{0,1\}, v\in S \end{split}$$

dan dual :$(D)$

$$\begin{split} \text{Min} \displaystyle\sum\limits_{C\in \mathcal{C}} y_C\\ \text{subject to} \displaystyle\sum\limits_{C:v\in C} &y_C \ge 1, \forall v\in S\\ &y_C \in \{0,1\}, C\in \mathcal{C} \end{split}$$

Maka masalah menemukan penutup minimum dari rangkaian yang diatur oleh rantai adalah dua dari masalah kita. Teorema Dilworth menyatakan itu

Ada antichain A, dan partisi ordo menjadi keluarga P rantai, sehingga jumlah rantai dalam partisi sama dengan kardinalitas A

yang berarti bahwa solusi optimal dari kedua masalah ini cocok:$Opt(P)=Opt(D)$

Misalkan ( resp. ) menjadi pelonggaran ( resp. ) yaitu program linier yang sama di mana semua kendala ( resp. ) diganti oleh ( resp. ). Biarkan dan menjadi solusi optimal mereka. Karena kita memiliki: dan lemahnya kualitas teorema menetapkan bahwa$(P^*)$ $(D^*)$$(P)$ $(D)$$x_v\in\{0,1\}$ $y_C\in\{0,1\}$$x_v\in [0,1]$ $y_C\in [0,1]$$Opt(P^*)$$Opt(D^*)$$\{0,1\}\subseteq [0,1]$

$$Opt(P)\le Opt(P^*) \text{ and } Opt(D^*)\le Opt(D)$$ $Opt(P^*)\le Opt(D^*)$maka dengan menyatukan semuanya kita memiliki: $$Opt(P)= Opt(P^*)=Opt(D^*)=Opt(D)$$

Kemudian, menggunakan metode Ellipsoid , kita dapat menghitung ( ) dalam waktu polinomial. Ada sejumlah kendala eksponensial tetapi ada oracle pemisahan waktu polinomial. Memang diberi solusi , kami dapat menghitung semua pasangan dan memeriksa apakah atau , dan karenanya memutuskan dalam waktu polinomial apakah layak atau kendala yang terkait dengan rantai dilanggar.= O p t ( P ) X s 1 , s 2 ∈ X s 1 ≤ s 2 s 2 ≤ s 1 X { v 1 , v 2$Opt(P^*)$$=Opt(P)$$X$$s_1,s_2\in X$$s_1\le s_2$$s_2\le s_1$$X$$\{v_1,v_2\}$