Mengapa kami percaya bahwa PSPACE ≠ EXPTIME?

Saya mengalami kesulitan memahami mengapa PSPACE secara umum diyakini berbeda dari EXPTIME. Jika PSPACE adalah serangkaian masalah yang dapat dipecahkan dalam polinomial ruang dalam ukuran input , lalu bagaimana mungkin ada kelas masalah yang mengalami ledakan waktu eksponensial yang lebih besar dan tidak menggunakan ruang eksponensial?$f(n)$

Jawaban Yuval Filmus sudah sangat membantu. Namun, mungkin orang sketsa argumen longgar saya mengapa mungkin menjadi kasus yang PSPACE ≠ EXPTIME (yaitu yang PSPACE tidak subset tepat EXPTIME)? Tidakkah kita membutuhkan ruang eksponensial untuk mengalahkan upperbound untuk jumlah total konfigurasi sistem yang dapat dicapai dengan ruang yang menskala secara polinomial dengan ukuran input? Hanya untuk mengatakan, saya bisa mengerti mengapa EXPTIME ≠ EXPSPACE adalah masalah terbuka, tapi saya kurang memahami hubungan antara PSPACE dan EXPTIME.

Mari menyegarkan definisi.

• PSPACE adalah kelas masalah yang dapat diselesaikan pada mesin Turing deterministik dengan batas ruang polinom: yaitu, untuk setiap masalah seperti itu, ada mesin yang memutuskan masalah menggunakan paling banyak sel ketika inputnya memiliki panjang  , untuk beberapa polinomial  .$p(n)$$n$$p$

• EXP adalah kelas masalah yang dapat diselesaikan pada mesin Turing deterministik dengan batas waktu eksponensial: untuk setiap masalah seperti itu, ada mesin yang memutuskan masalah menggunakan paling banyak langkah ketika inputnya memiliki panjang  , untuk beberapa polinomial  .$2^{p(n)}$$n$$p$

Pertama, kita harus mengatakan bahwa kedua kelas ini mungkin sama. Mereka tampaknya lebih mungkin berbeda tetapi kelas kadang-kadang ternyata sama: misalnya, pada 2004, Reingold membuktikan bahwa ruang log simetris sama dengan ruang log biasa; pada tahun 1987, Immerman dan Szelepcsényi secara independen membuktikan bahwa NLco-NL$\;=\;$ (dan, pada kenyataannya, NSPACE [ ] co-NSPACE [ ]$f(n)$$\;=\;$$f(n)$ untuk setiap ).$f(n)\geq \log n$

Tetapi, pada saat ini, kebanyakan orang percaya bahwa PSPACE dan EXP berbeda. Mengapa? Mari kita lihat apa yang bisa kita lakukan di dua kelas kompleksitas. Pertimbangkan masalah di PSPACE . Kami diizinkan menggunakan  sel pita untuk menyelesaikan input panjang  tetapi sulit membandingkannya dengan EXP , yang ditentukan oleh batas waktu.$p(n)$$n$

Berapa banyak waktu yang dapat kita gunakan untuk masalah PSPACE ? Jika kita hanya menulis ke  sel , ada string yang berbeda yang dapat muncul pada rekaman itu, dengan asumsi alfabet biner. Tape kepala bisa berada di setiap dari  tempat yang berbeda dan mesin Turing bisa berada di salah satu  yang berbeda negara. Jadi jumlah total konfigurasi adalah. Dengan prinsip pigeonhole, jika kita menjalankan untuk langkah , kita harus mengunjungi konfigurasi dua kali tetapi, karena mesin itu deterministik, itu berarti ia akan berputar-putar dan mengunjungi konfigurasi yang sama tak terhingga sering, yaitu, ia tidak akan t berhenti. Karena bagian dari definisi berada di$p(n)$$2^{p(n)}$$p(n)$$k$$T(n) = k\,p(n)\,2^{p(n)}\!$$T(n)+1$PSPACE adalah bahwa Anda harus memutuskan masalahnya, mesin apa pun yang tidak berhenti tidak menyelesaikan masalah PSPACE . Dengan kata lain, PSPACE adalah kelas masalah yang dapat ditentukan menggunakan paling banyak ruang  dan paling banyak waktu , yaitu paling banyak untuk beberapa polinomial  . Jadi kami telah menunjukkan bahwa PSPACEEXP .$p(n)$$k\,p(n)\,2^{p(n)}$$2^{q(n)}$$q$$\;\subseteq\;$

Dan berapa banyak ruang yang bisa kita gunakan untuk masalah EXP ? Baiklah, kami diizinkan langkah dan kepala mesin Turing hanya dapat memindahkan satu posisi di setiap langkah. Karena head tidak dapat bergerak lebih dari posisi, kita hanya bisa menggunakan sel sel yang banyak itu.$2^{p(n)}$$2^{p(n)}$

Itulah perbedaannya: meskipun baik PSPACE dan EXP adalah masalah yang dapat diselesaikan dalam waktu eksponensial, PSPACE terbatas pada penggunaan ruang polinomial, sedangkan EXP dapat menggunakan ruang eksponensial. Itu sudah menunjukkan bahwa EXP harus lebih kuat. Misalnya, Anda mencoba menyelesaikan masalah tentang grafik. Di PSPACE , Anda dapat melihat setiap subset dari simpul (hanya perlu  bit untuk menuliskan subset). Anda bisa menggunakan beberapa ruang kerja untuk menghitung pada setiap subset tetapi, setelah Anda selesai mengerjakan subset, Anda harus menghapus ruang kerja itu dan menggunakannya kembali untuk subset berikutnya. Dalam EXP$n$, di sisi lain, Anda tidak hanya dapat melihat setiap bagian tetapi Anda tidak perlu menggunakan kembali ruang kerja Anda, sehingga Anda dapat mengingat apa yang Anda pelajari tentang masing-masing bagian secara individual. Sepertinya itu harus lebih kuat.

Intuisi lain mengapa mereka harus berbeda adalah bahwa teorema hierarki waktu dan ruang memberi tahu kita bahwa membiarkan ruang atau waktu yang sedikit saja lebih banyak secara ketat meningkatkan apa yang dapat Anda hitung. Teorema hierarki hanya memungkinkan Anda membandingkan suka dengan suka (misalnya, mereka menunjukkan bahwa PSPACE EXPSPACE$\;\subsetneq\;$ dan P EXP$\;\subsetneq\;$ ) sehingga mereka tidak secara langsung berlaku untuk PSPACE vs EXP tetapi mereka memberi kami intuisi yang kuat bahwa lebih banyak sumber daya berarti lebih banyak masalah dapat dipecahkan.

Mesin yang berjalan dalam waktu eksponensial dapat menggunakan ruang eksponensial. Jadi apriori bisa jadi bahwa mesin yang terbatas pada ruang polinomial akan lebih lemah. Situasi serupa terjadi untuk P dan L. Mesin yang berjalan dalam waktu polinom dapat menggunakan ruang polinom, jadi secara priori mungkin bahwa mesin yang dibatasi ruang logaritmik akan lebih lemah. Bahkan diduga bahwa P berbeda dari NL, analog non-deterministik dari L. (Untuk PSPACE, dugaan yang sesuai adalah setara, karena PSPACE = NPSPACE karena teorema Savitch.) Sayangnya, kita tidak tahu bagaimana membuktikan dugaan ini. saat ini. Dugaan EXPTIME neq PSPACE lebih kuat karena menyiratkan P NL melalui argumen padding.$\neq$$\neq$