Apa yang kita ketahui tentang NP ∩ co-NP dan hubungannya dengan NPI?

A TA turun hari ini untuk menanyakan beberapa hal tentang NP dan co-NP. Kami tiba di titik di mana saya bingung: seperti apa diagram Venn tentang P, NPI, NP, dan co-NP dengan asumsi mengasumsikan P ≠ NP (kasus lain membosankan)?

Tampaknya ada empat opsi dasar.

1. NP ∩ co-NP = P

   Secara khusus, co-NPI ∩ NPI = ∅

2. NP ∩ co-NP = P ∪ NPI

   Secara khusus, co-NPI = NPI?

3. NP ∩ co-NP ⊃ P ∪ NPI ∪ co-NPI

   Pertanyaan tindak lanjut dalam hal ini adalah bagaimana NPC dan co-NPC saling terkait; apakah ada tumpang tindih?

4. Sesuatu yang lain, khususnya beberapa masalah dari NPI adalah dalam co-NP dan yang lainnya tidak.

Apakah kita tahu mana yang benar, atau paling tidak yang tidak benar?

Entri kompleksitas kebun binatang untuk NPI dan NP ∩ co-NP tidak menginspirasi banyak harapan bahwa ada sesuatu yang diketahui, tetapi saya tidak cukup fasih dalam teori kompleksitas untuk memahami semua kelas lain (dan dampaknya pada pertanyaan ini) mengambang di sana .

Fakta bahwa P ≠ NP tidak menghalangi kemungkinan bahwa NP = co-NP, dalam hal ini NP ∩ co-NP = NP. Jadi untuk melanjutkan diskusi, mari kita asumsikan bahwa NP ≠ co-NP. Dalam kasus tersebut, Corollary 9 dalam pendekatan A seragam Schöning untuk mendapatkan set diagonal dalam kelas kompleksitas menunjukkan bahwa ada beberapa bahasa dalam NP - co-NP yang merupakan NP-intermediate. Jadi NPI secara ketat mengandung (NP ∩ co-NP) - P (perhatikan bahwa setiap bahasa di NP ∩ co-NP ada di P ∪ NPI). Ini adalah pilihan Anda (4).

Singkatnya, dengan asumsi P ≠ NP dan NP ≠ co-NP, kita mendapatkan ini:

^{[ sumber ]}