Hasilkan jaringan bebas skala dengan distribusi gelar sarjana hukum menggunakan Barabasi-Albert

Saya mencoba mereproduksi jaringan sintetis (grafik) yang dijelaskan dalam beberapa makalah.

Disebutkan bahwa model Barabasi-Albert digunakan untuk membuat "jaringan bebas skala dengan distribusi derajat hukum-daya, ". $P_A(k) ∝ k^{-λ}$

$P_A$ adalah distribusi probabilitas yang mengembalikan probabilitas sebuah simpul yang memiliki derajat $k$ . Sebagai contoh, $P_A(2)$ menunjukkan kemungkinan secara acak memilih sebuah simpul dari jaringan dan mendapatkan sebuah simpul dengan derajat 2.

Tingkat rata-rata $k$ stroke tampaknya 4 dalam satu kertas, dengan minimum $k$ 2. Tidak ada kata tentang maksimum $k$ . Di kertas lain itu tidak ditentukan. Tampaknya tidak penting untuk mendefinisikan jaringan.

Nilai Lambda λ diberikan, seperti juga jumlah node $n$ . Kombinasi adalah

n = 50000, λ = 3, 2.7, 2.3, dengan kertas
n = 4000 dan λ = 2.5, atau n = 6000 dan λ = 3 di kertas lain

Saya mencari perpustakaan yang mengimplementasikan algoritma Barabasi-Albert dan mereka tampaknya memerlukan parameter yang berbeda dari lambda dan tingkat rata-rata. Salah satunya adalah NetworkX , yang lain adalah GraphStream (implementasi di sini ). Mereka bekerja dengan cara yang sama dan meminta:

n : int - jumlah node
m : int - jumlah tepi yang akan dilampirkan dari node baru ke node yang ada; jumlah tepi yang akan ditambahkan pada setiap langkah

Bagaimana saya bisa menghitung pengaturan m untuk menghasilkan grafik yang sebanding?

Berikut ini beberapa referensi:

Kaskade kegagalan kegagalan dalam jaringan yang saling tergantung, Buldyrev et al. 2010, dengan Informasi Tambahan yang disediakan secara terpisah
Cluster Kecil dalam Sistem Fisik Cyber, Huang et al. 2014
Kaskade kegagalan kegagalan dalam jaringan yang saling tergantung, Havlin et al. 2010, ini ada di Arxiv dan agak mengklarifikasi yang pertama

Perhatikan bahwa makalah ini menggunakan "fungsi pembangkit" untuk mempelajari secara analitis beberapa properti dari grafik tersebut. Namun, mereka juga menjalankan simulasi pada model-model itu, sehingga mereka pasti telah menghasilkan jaringan tersebut.

Terima kasih.

— Agostino
sumber

Omong-omong, Mathematica melakukan ini juga .

— Juho

Jawaban singkatnya adalah Anda tidak dapat menggunakan perangkat lunak apa adanya untuk mendapatkan apa yang Anda inginkan. Untuk tetap , model Barabasi-Albert selalu memiliki distribusi derajat , terlepas dari . Rumus yang tepat untuk tingkat probabilitas dari apa yang diterapkan oleh perangkat lunak tersebut (yang merupakan model BA) $m$ $P_k \sim k^{-3}$ $m$

P_{k} = \frac{2 m (m + 1)}{k (k + 1) (k + 2)}

$P_k = \frac{2m(m+1)}{k(k+1)(k+2)}$

Makalah (dengan ) mungkin berbicara tentang beberapa jenis model BA umum, saya kira. Akan membantu untuk memberikan lebih banyak detail (kutipan lengkap) pada mereka. $\lambda \neq 3$

EDIT: OK, saya harus melihat pada referensi tersebut. Sementara itu, saya telah menemukan ada paket R yang disebut igraph yang dapat melakukan apa yang Anda inginkan. Makalah teori yang relevan / dikutip digunakan ada:

"Komponen yang Terhubung dalam Grafik Acak dengan Urutan Gelar yang Diharapkan" oleh Fan Chung, Linyuan Lu.

Ini memiliki sekitar 400 kutipan di Google Cendekia, jadi itu mungkin metode yang banyak digunakan. Makalah kemudian, 2009 dikutip pada halaman paket R dengan jelas mengatakan "jaringan SF mengandung derajat heterogen, dan distribusinya mengikuti hukum kekuatan, . Untuk membangun jaringan SF buatan, stokastik model yang disebut model Chung and Lu (CL) digunakan. " $P_d(k) \sim k^{-\lambda}$

EDIT2: Saya pikir Anda salah membaca Huang et al. "Kami membangun jaringan acak, berskala bebas, dan kecil dari dunia sintetis menggunakan model Erdos-Renyi, model Barabasi-Albert dan model Watts dan Strogatz [9]." Ia tidak mengatakan di mana pun mereka mendapatkan BA untuk melakukan daya selain 3. Ada keterangan gambar yang mengatakan "Kami menggunakan model saling ketergantungan 'k-n' untuk memasangkan dua jaringan bebas skala sintetik dan dengan eksponen law law 2.5 dan 3 masing-masing. " Tapi itu tidak berarti mereka menggunakan BA untuk grafik 2,5 derajat itu. Ada satu tokoh kemudian yang hanya mengatakan "model Barabasi-Albert digunakan untuk menghasilkan jaringan skala bebas dengan eksponen hukum daya 3." $G_p$ $G_c$

EDIT3: Makalah oleh Buldyrev et al. tidak mengatakan di mana pun mereka telah menggunakan grafik BA. "Hasil simulasi untuk P8 sebagai fungsi p untuk untuk jaringan SF dengan = 3, 2.7, 2.3". Mereka tidak mengatakan bagaimana mereka mendapatkan grafik itu. Do mengutip makalah BA, tetapi hanya dalam daftar panjang 10 makalah tentang berbagai model jaringan acak. Makalah kedua dari grup ini oleh Havlin et al. memang memberi pada hal. 5 model BA sebagai memiliki tidak ditentukan / tidak spesifik , mengutip kertas BA 1999. Saya tidak benar-benar ingin menyebut makalah ini salah, tetapi satu-satunya pembacaan yang benar adalah . Sekali lagi itu tidak mengatakan bagaimana mereka menghasilkan $\lambda$ $\lambda$ $\lambda = 3$ $\lambda = 2.7$ grafik dari Gambar 8. Saya dapat melihat bagaimana membaca makalah ini Anda dapat menyimpulkan bahwa BA dapat menghasilkan grafik seperti itu ... tetapi tidak bisa.

EDIT4: Ya, saya menemukannya sekarang dalam versi aktual yang diterbitkan di Nature "Untuk dua jaringan bebas skala interdependen ² dengan distribusi derajat hukum-daya, , kami menemukan bahwa kriteria keberadaan untuk komponen raksasa sangat berbeda dari yang ada di jaringan tunggal. " Kutipan ini memang menyesatkan dengan cara yang sama seperti di Halvin et al., Tetapi mereka tidak mengatakan mereka telah menggunakan proses BA untuk menghasilkan grafik. Bagian ini dapat ditafsirkan sebagai hanya referensi BA 1999 mengutip untuk apa jaringan bebas skala artinya dan / atau yang berasal konsep. Dalam kasus apa pun, percayalah pada matematika ... Anda dapat menemukan derivasi untuk rumus gelar BA di banyak tempat, termasuk makalah BA sendiri atau lebih detail $P_A(k) \sim P_B(k) / k^{-\lambda}$ dalam buku selanjutnya [biarkan] . BA jelas memahami sifat umum dari apa yang mereka amati, sehingga mereka menyatakan undang-undang yang lebih umum (sewenang-wenang ) daripada apa yang disediakan konstruksi mereka, yaitu . Seperti yang saya katakan sebelumnya, ada metode lain (kemudian diterbitkan oleh orang lain, misalnya Chung dan Lu) untuk mendapatkan berbeda , tetapi mereka tidak menggunakan konstruksi BA, meskipun grafik mereka dengan benar disebut bebas-skala juga. $\lambda$ $\lambda = 3$ $\lambda$

— Mendesis
sumber

Terima kasih atas tangkapannya. Mereka bisa lebih jelas dari ini. Bahkan, saya masih kehilangan parameter m di sini, hanya ada tingkat rata-rata pada Gambar. 2.

— Agostino

Makalah pertama mengutip BA juga, tepat ketika mereka berbicara tentang bagaimana mereka membangun grafik bebas skala "Untuk dua jaringan bebas skala interdependen dengan distribusi derajat hukum-kekuatan". 2 adalah referensi untuk makalah BA 1999.

^{2}

$^{2}$

— Agostino

Apakah berbicara tentang kertas yang sama? Saya tidak dapat menemukan string di arxiv.org/pdf/0907.1182v1.pdf

— Fizz

Tidak, makalah pertama yang saya maksudkan, oleh Buldyrev et al., Memiliki judul yang sama tetapi diterbitkan pada 2010 dan tidak ada di Arxiv, sayangnya. Ini satu dengan banyak kutipan, jika Anda mencari di Google.

— Agostino

@ Agostino: Ya, saya menemukannya dan membacanya sekarang; lihat EDIT4.

— Fizz