Bukti teorema Karp-Lipton

Saya mencoba memahami bukti teorema Karp-Lipton sebagaimana dinyatakan dalam buku "Kompleksitas Komputasi: Suatu pendekatan modern" (2009).

Secara khusus, buku ini menyatakan sebagai berikut:

Teorema Karp-Lipton

Jika NP , maka PH . $\subseteq$ $P_{\backslash poly}$ $= \Sigma^p_2$

Bukti: Dengan Teorema 5.4, untuk menunjukkan PH , itu sudah cukup untuk menunjukkan bahwa dan khususnya itu sudah cukup untuk menunjukkan bahwa berisi -Lengkap bahasa SAT. $= \Sigma^p_2$ $\Pi^p_2\subseteq \Sigma^p_2$ $\Sigma^p_2$ $\Pi^p_2$ $\Pi_2$

Teorema 5.4 menyatakan itu

untuk setiap , jika maka PH = . Yaitu, hierarki runtuh ke tingkat engan. $i \geq 1$ $\Sigma_i^p = \Pi_i^p$ $\Sigma_i^p$

Saya gagal memahami bagaimana menyiratkan . $\Pi^p_2\subseteq \Sigma^p_2$ $\Sigma_2^p = \Pi_2^p$

Sebagai pertanyaan yang lebih umum: apakah ini berlaku untuk setiap , yaitu apakah menyiratkan untuk semua ? $i$ $\Pi^p_i\subseteq \Sigma^p_i$ $\Sigma_i^p = \Pi_i^p$ $i \geq 1$

complexity-theory complexity-classes

— WardL
sumber

Setelah beberapa saat, jika saya ingat dengan benar, kami sampai pada penjelasan yang tidak jelas: "Jika , maka kita dapat mengubah rumus dengan penjumlah menjadi satu dengan penjumlahan , yang dapat kita gunakan untuk mengubah rumus dari dari formulir

ke salah satu bentuk

, yang menempatkannya di

, yang meruntuhkan hierarki. Saya tidak yakin bahwa saya memahami argumen ini sepenuhnya

Π_{2}^{p} \subseteq Σ_{2}^{p}

$\Pi_2^p \subseteq \Sigma_2^p$

\forall . . . \exists

$\forall ... \exists$

\exists . . . \forall

$\exists ... \forall$

Σ_{3}^{p}

$\Sigma_3^p$

\exists . . . \forall . . . \exists

$\exists ... \forall ... \exists$

\exists . . . \exists . . . \forall

$\exists... \exists... \forall$

Σ_{2}^{p}

$\Sigma_2^p$

— WardL

saran / ide lain, pernyataan matematika beralih antara subset inklusi dan kesetaraan (akui ini biasa dalam teori kompleksitas). apakah ada cara untuk tetap berpegang pada / merumuskan / merumuskan kembali dalam satu atau yang lain? fyi Karp-Lipton thm / wikipedia

— vzn

Ingat bahwa iff . Misalkan sekarang , dan biarkan . Kemudian dan begitu dengan asumsi, menyiratkan bahwa . Dengan kata lain, , dan begitu . $L \in \Sigma_i^p$ $\bar{L} \in \Pi_i^p$ $\Sigma_i^p \subseteq \Pi_i^p$ $L \in \Pi_i^p$ $\bar{L} \in \Sigma_i^p$ $\bar{L} \in \Pi_i^p$ $L \in \Sigma_i^p$ $\Pi_i^p \subseteq \Sigma_i^p$ $\Sigma_i^p = \Pi_i^p$

Inilah sebabnya iff . Untuk konkret, kita ambil . Menurut definisi, jika karena P-waktu predikat , Demikian pula jika untuk beberapa predikat -waktu , $L \in \Sigma_i^p$ $\bar{L} \in \Pi_i^p$ $i = 3$ $L \in \Sigma_3^p$ $T$

x \in L \Leftrightarrow \exists | y | < | x |^{O (1)} \forall | z | < | x |^{O (1)} \exists | w | < | x |^{O (1)} T (x, y, z, w) .

$x \in L \Leftrightarrow \exists |y| < |x|^{O(1)} \forall |z| < |x|^{O(1)} \exists |w| < |x|^{O(1)} T(x,y,z,w).$

\bar{L} \in Π_{3}^{p}

$\bar{L} \in \Pi_3^p$

S

$S$

x \in \bar{L} \Leftrightarrow \forall | y | < | x |^{O (1)} \exists | z | < | x |^{O (1)} \forall | w | < | x |^{O (1)} S (x, y, z, w) .

$x \in \bar{L} \Leftrightarrow \forall |y| < |x|^{O(1)} \exists |z| < |x|^{O(1)} \forall |w| < |x|^{O(1)} S(x,y,z,w).$ Namun, kedua pernyataan ini setara, seperti yang ditunjukkan oleh doa de Morgan yang sederhana, bersama dengan fakta bahwa P ditutup dengan komplementasi (ambil ).

S = \neg T

$S = \lnot T$

— Yuval Filmus
sumber