Seberapa sulit menghitung jumlah jalur sederhana antara dua node dalam grafik terarah?

Ada algoritma polinomial yang mudah untuk memutuskan apakah ada jalur antara dua node dalam grafik terarah (cukup lakukan traversal grafik rutin dengan, katakanlah, pencarian-kedalaman-pertama).

Namun tampaknya, secara mengejutkan, masalahnya menjadi lebih sulit jika alih-alih menguji keberadaan kami ingin menghitung jumlah jalur.

Jika kita mengizinkan jalur untuk menggunakan kembali simpul maka ada solusi pemrograman dinamis untuk menemukan jumlah jalur dari s ke t dengan n tepi. Namun, jika kita hanya mengizinkan jalur sederhana, yang tidak menggunakan kembali simpul, satu-satunya solusi yang dapat saya pikirkan adalah enumerasi brute force dari jalur , sesuatu yang memiliki kompleksitas waktu eksponensial.

Jadi saya bertanya,

Apakah menghitung jumlah jalur sederhana antara dua simpul itu sulit?
Jika demikian, apakah ini semacam NP-complete? (Saya katakan semacam itu karena secara teknis bukan masalah keputusan ...)
Apakah ada masalah lain di P yang memiliki versi penghitungan yang sulit seperti itu juga? **

algorithms complexity-theory graph-theory

— hugomg
sumber

BTW, saya sebenarnya tahu jawaban untuk pertanyaan ini sekarang tetapi saya ingin tahu tentang jawaban apa yang akan saya dapatkan jika saya menanyakannya kembali ketika saya pertama kali mengemukakannya.

— hugomg

stackoverflow.com/questions/713508/…

— Suresh

@ Suresh: Saya tahu cara membuat kode pencarian brute force. Pertanyaan saya apakah ada algoritma yang lebih efisien. Bagaimanapun, pertanyaan SO ini akan lebih mirip, dan bahkan termasuk jawaban saya, jika Anda tertarik pada spoiler.

— hugomg

Kelas kompleksitas paling umum yang terkait dengan penghitungan masalah adalah #P . Memutuskan apakah ada jalur sederhana dari node yang diberikan ke yang lain jelas dalam NP. Menghitungnya kemudian di #P.

Tentang kelengkapan NP: bahkan jika itu bukan masalah keputusan, itu hampir tidak cocok di NP: mungkin adajalur, dan non-determinisme tidak membantu Anda tentang hal itu (Anda masih perlu memeriksa semuanya) $n!$

Jawaban atas dua pertanyaan pertama Anda adalah: ya, sulit, itu # P-complete (ref) .

Artikel Wikipedia memberikan fakta-fakta terkait: 1) algoritma probabilistik berguna untuk memperkirakan fungsi-fungsi # P-complete, dan itulah jenis algoritma yang digunakan untuk perkiraan pada artikel sebelumnya. 2) Ada masalah mudah lainnya dengan versi penghitungan yang sulit (# P-complete):

menemukan (linier) vs. menghitung semua tugas yang memenuhi formula DNF atau turunan 2-SAT
menemukan (linier) vs. menghitung penyortiran topologis
Finding (O (VE)) vs. Menghitung pencocokan sempurna dalam grafik bipartit

Anda sudah tahu bahwa jika Anda menghapus kendala "jalur sederhana" masalahnya jatuh ke P (yah Anda harus mengikat panjang jalur dengan polinomial ukuran grafik atau memberikan batas unary)

— jmad
sumber