Big O: Bersarang Untuk Loop Dengan Ketergantungan

9

Saya diberi tugas pekerjaan rumah dengan O Besar. Saya terjebak dengan loop untuk loop yang tergantung pada loop sebelumnya. Ini adalah versi yang diubah dari pertanyaan pekerjaan rumah saya, karena saya benar-benar ingin memahaminya:

sum = 0;
for (i = 0; i < n; i++ 
    for (j = 0; j < i; j++) 
        sum++;

Bagian yang mengusir saya adalah j < ibagian. Sepertinya itu akan mengeksekusi hampir seperti faktorial, tetapi dengan tambahan. Petunjuk apa pun akan sangat dihargai.

— Raphael
sumber

Penjelasan yang bagus di sini

— saadtaame

10

Jadi izinkan saya mengklarifikasi beberapa hal, Anda tertarik pada notasi O besar - ini berarti batas atas . Dengan kata lain, tidak apa-apa menghitung lebih banyak langkah daripada yang sebenarnya Anda lakukan. Secara khusus, Anda dapat memodifikasi algoritme untuk

 ...
    for (j = 0; j < n; j++) 
 ...

Jadi Anda memiliki dua loop bersarang, setiap loop berjalan kali, yang memberi Anda atas terikat dari $n$ $O(n^2)$

Tentu saja, Anda ingin memiliki perkiraan yang baik untuk batas atas. Jadi untuk penyelesaian, kami ingin menentukan batas bawah. Ini berarti tidak apa-apa untuk menghitung langkah lebih sedikit. Jadi pertimbangkan modifikasi

for (i = n/2; i < n; i++)
    for (j = 0; j < n/2; j++) 
        sum++;

Di sini, kami hanya melakukan beberapa loop-iterasi. Sekali lagi kita memiliki dua loop bersarang, tapi kali ini kami memiliki iterasi per loop, yang menunjukkan bahwa kita memiliki setidaknya tambahan. Dalam hal ini kami menunjukkan batas bawah asimptotik ini dengan . Karena batas bawah dan atas bertepatan, kita bahkan dapat mengatakan bahwa $n/2$ $n^2/4$ $\Omega(n^2)$ adalah ikatan asimptotik yang ketat, dan kita menulis . $n^2$ $\Theta(n^2)$

Jika Anda ingin tahu lebih banyak, baca di sini .

— A.Schulz
sumber

6

sum = 0;
for (i = 0; i < n; i++)
    for (j = 0; j < i; j++) 
        sum++;

Mari kita lacak ini:

Ketika saya = 0, loop dalam tidak akan berjalan sama sekali (0<0 == false ).
Ketika i = 1, loop dalam akan berjalan satu kali (untuk j == 0).
Ketika i = 2, loop dalam akan berjalan dua kali. (untuk j == 0 dan j == 1).

Algoritma ini dengan demikian akan menambah sumbeberapa kali berikut:

\sum_{x = 1}^{n} x - 1 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 ... + n - 1 = \frac{n (n - 1)}{2}

$\sum_{x=1}^n x-1 = 0+1+2+3+4... + n-1 = \dfrac{n(n-1)}{2}$

$n$ $\dfrac{n^2-n}{2}$ $n^2$ $\theta(n^2) \equiv O(n^2) \ and\ \Omega(n^2)$

— KeithS
sumber

3

mari kita lihat apakah saya bisa menjelaskan ini ...

Jadi jika loop dalam adalah j

Sekarang, untuk iterasi pertama Anda lakukan n- (n-1) kali melalui loop dalam. pada kali kedua Anda melakukan n- (n-2) kali melalui loop dalam. Pada Nth kali Anda melakukan n- (nn) kali melalui, yaitu n kali.

jika Anda rata-rata berapa kali Anda melewati loop dalam itu n / 2 kali.

Jadi bisa dibilang ini O (n * n / 2) = O (n ^ 2/2) = O (n ^ 2)

Apakah itu masuk akal?

Agak aneh, tapi saya rasa saya mengerti! Terima kasih! Mungkin butuh sedikit waktu untuk tenggelam dalam haha

Jadi jika j < ibagian itu sebenarnya j < i^2, O yang dihasilkan untuk bagian itu adalah n ^ 2/2?

Pertama-tama perhatikan bahwa O (n ^ 2/2) = O (n ^ 2). Sekarang jika Anda mengubahnya menjadi j <i ^ 2, maka Anda melakukan (n- (n-1)) ^ 2 pada iterasi pertama dan n ^ 2 pada iterasi terakhir. Saya tidak ingat apa notasi O besar untuk loop batin. O (n ^ 2) adalah batas atas yang longgar. Jadi batas atas yang longgar untuk semuanya adalah O (n ^ 3), tetapi lingkaran dalam itu kurang dari O (n ^ 2). Apakah itu masuk akal?