Polinomial kromatik dari sebuah persegi

Pertimbangkan kotak, ABCD. Intuitif tampaknya bagi saya bahwa polinomial kromatik adalah $\lambda(\lambda - 1)(\lambda - 1)(\lambda - 2)$ di mana ada $\lambda$ warna yang tersedia ..

Yaitu ada $\lambda$ cara di mana warna untuk A dapat dipetik, ada $\lambda - 1$ cara untuk warna untuk B dan D untuk dipilih (B dan D berdekatan dengan A) dan $\lambda - 2$ cara untuk warna untuk C ke dijemput.

Namun menggunakan teorema dekomposisi (slide 47, Contoh 11.33) dan mendekomposisi kuadrat ke dalam jalur dengan panjang 3 dan segitiga, menunjukkan bahwa alasan awal saya salah.

Bisakah Anda memberi tahu saya di mana saya salah dengan pemikiran saya?

Anda harus ingat bahwa simpul diagonal satu sama lain dapat diwarnai sama! Formula Anda tidak memperhitungkannya. Kita dapat menemukan angka kromatik dari grafik melalui prinsip inklusi-pengecualian. Ini adalah teknik penghitungan yang sangat umum yang memungkinkan kita untuk menghitung struktur yang rumit, jika kita dapat membuktikan batasan tertentu pada himpunan bagian tertentu.

Gagasan utamanya adalah bahwa kami menghitung semua kemungkinan cara beberapa properti terjadi. Lalu kami menghapus beberapa item "buruk". Namun, kami mungkin telah menghapus terlalu banyak, dan perlu menambahkan kembali beberapa item "bagus". Ini bolak-balik sampai kita telah melewati semua himpunan bagian.

$|X|=n$$X$$A_i$

$$\sum_{I \subseteq [n]} (-1)^{|I|}|A_I| \text{, where } \\ I \text{ is the set of indices in } X \text{ and } A_I = \bigcap_{i \in I} A_i$$

$\lambda$$X$$|X| = \lambda^4$

$$A_{e} = \{\text{coloring} : e=(i,j) \in E, \text{color}(i) = \text{color}(j) \}$$

$A_{e}$

$|A_{12}| = |A_{23}| = |A_{34}| = |A_{41}| = \lambda^3$$G$

$|A_{12} \cap A_{23} | = |A_{23} \cap A_{34} | = |A_{34} \cap A_{41}| = |A_{41} \cap A_{12}| = |A_{12} \cap A_{34}| = |A_{41} \cap A_{23}| = \lambda^2$

$|A_e \cap A_{e'} \cap A_{e''}| = \lambda$$|A_{12} \cap A_{23} \cap A_{34} \cap A_{41}| = \lambda$

$$\lambda^4 - 4\lambda^3 + 6\lambda^2 - 4\lambda + \lambda = \lambda^4 - 4\lambda^3 + 6\lambda^2 - 3\lambda$$

Sekarang menghitung dengan inklusi-pengecualian untuk masalah ini tidak terlalu buruk karena kami memiliki siklus 4 sederhana. Jika grafik memiliki lebih banyak struktur maka akan cepat menjengkelkan untuk mengetahui setiap ukuran persimpangan untuk semua persimpangan yang memungkinkan.

The jawaban dengan Nicholas di atas dan yang satu ini membantu saya melihat cacat dalam pemikiran saya. Saya berpikir untuk menguraikan Nicholas lebih khusus,

Anda harus ingat bahwa simpul diagonal satu sama lain dapat diwarnai sama

dan juga mendapatkan polinomial kromatik dengan menyesuaikan alasan yang salah.

Saya awalnya berpikir bahwa ada cara memilih warna untuk C. "-2" menyumbang warna yang berbeda dari B dan D. Apa yang saya tidak pikirkan adalah bahwa B dan D dapat memiliki warna yang sama dalam hal ini hanya akan ada cara memilih warna untuk C. Dengan demikian$\lambda - 2$$\lambda - 1$

$P(ABCD, \lambda)$ = Jumlah cara pewarnaan ABCD dengan benar saat B dan D berwarna sama + Jumlah cara pewarnaan ABCD dengan benar ketika B dan D diwarnai berbeda
=$λ(λ−1)(1)(λ−1) + λ(λ−1)(λ−2)(λ−2)$