Cara menemukan simpul pada jalur sederhana antara dua simpul yang diberikan dalam grafik terarah

Diberikan grafik terarah dan dua simpul S dan T yang berbeda, adakah algoritma waktu polinomial yang menemukan setiap simpul yang berada pada setidaknya satu jalur sederhana dari S ke T?

Tidak sulit untuk menemukan semua simpul yang merupakan penerus S dan pendahulu T tetapi ini hanya superset dari himpunan di atas. Misalnya, perhatikan grafik berikut: S -> a; a -> b; b -> c; b-> T; c -> a

Sementara a, b dan c semuanya adalah penerus S dan pendahulu T, tidak ada jalur sederhana dari S ke T melalui c (karena setiap jalur dari S ke T melalui c berisi dua kali a dan b).

Masalah terkait erat adalah sebagai berikut: Diberikan grafik diarahkan dan tiga simpul yang berbeda S dan T dan I, apakah ada algoritma waktu polinomial untuk memutuskan apakah ada jalur sederhana dari S ke T melalui I.

Algoritma polinomial-waktu untuk masalah yang terakhir ini dapat digunakan untuk membangun algoritme polinomial ke yang sebelumnya karena kita dapat menerapkannya secara sukses dengan mengganti I dengan setiap node dalam grafik (atau lebih efisien untuk setiap node yang keduanya merupakan penerus dari S dan pendahulu T).

Terima kasih atas jawaban anda Seperti yang ditunjukkan master foo , masalah kedua - diberikan grafik terarah dan tiga simpul berbeda$s, t$ dan $i$, putuskan apakah ada jalur sederhana dari $s$ untuk $t$ melalui $i$ - memang NP-lengkap.

Dari kertas The Directed Subgraph Homeomorphism Problem oleh Steven Fortune, John E. Hopcroft dan James Wyllie, jelas bahwa grafik pola$s \to i \to t$ adalah salah satu yang masalah homeomorfisme subgraph yang diarahkan tetap adalah selesai-NP karena merupakan pohon kedalaman dua.

Berikut adalah beberapa definisi dari makalah ini:

Masalah homeomorfisma subgraph adalah untuk menentukan: jika grafik pola p adalah homeomorfik ke subgraf dari grafik input G. Homeomorfisme memetakan node P ke node G dan lengkungan P ke jalur sederhana di G. Grafik P dan G adalah baik diarahkan atau keduanya tidak diarahkan. Jalur di G yang sesuai dengan busur di P harus berpasangan simpul-berpasangan. Pemetaan node dalam P ke node di G dapat ditentukan atau dibiarkan sewenang-wenang. Masalah ini dapat dilihat sebagai masalah pencarian jalur umum. Misalnya, jika grafik pola terdiri dari dua busur disjoint dan pemetaan simpul diberikan, maka masalahnya setara dengan menemukan pasangan jalur disjoint antara simpul yang ditentukan dalam grafik input.

Pada dasarnya, hanya grafik pola yang merupakan pohon dengan kedalaman satu dan grafik baliknya (dengan kemungkinan loop lengkung pada root) dapat diselesaikan dalam waktu polinomial.

Misalkan C adalah kumpulan dari semua grafik berarah dengan simpul yang dikenal yang disebut root yang memiliki properti bahwa root adalah kepala dari setiap busur atau root adalah ekor dari setiap busur. Perhatikan bahwa root mungkin merupakan kepala dan ekor dari beberapa busur dan dengan demikian loop pada root diperbolehkan. Secara ekuivalen, grafik berada dalam C jika, ketika semua loop pada root dihapus dan beberapa busur di antara pasang node digabungkan menjadi satu busur, grafik yang dihasilkan adalah pohon tinggi paling banyak satu.

[...]

Selanjutnya kita menunjukkan bahwa untuk setiap pola P tidak dalam C masalah homeomorfisme subgraph tetap dengan pola P adalah NP-lengkap.

Saya belum membaca buktinya jadi saya akan berhenti di sini.

Ada juga koneksi yang dekat dari masalah yang baru saja saya sebutkan dan masalah dua jalur terpisah seperti yang ditunjukkan oleh salah satu kolega saya. Masalah dua jalur dijsoint adalah:

Diberikan grafik terarah dan empat simpul berbeda $s_1, t_1, s_2, t_2$, putuskan apakah ada dua simpul berpasangan yang memisahkan jalur sederhana dari $s_1$ untuk $t_2$ dan dari $s_2$ untuk $t_2$.

Masalah untuk grafik terarah ini dikenal sebagai NP-complete. Namun, ada transformasi sederhana dari masalah dua jalur terpisah ke$s \to i \to t$masalah. Untuk melakukan itu, kita perlu menambahkan satu simpul tambahan$i$ dan dua tepi ekstra $t_1 \to i$ dan $i \to s_2$.

Jika ada algoritma polinomial untuk menyelesaikan $s \to i \to t$ masalah, kita bisa menggunakannya untuk memecahkan dua masalah jalur terpisah dalam waktu polinomial dengan transformasi sederhana di atas dan dengan demikian memecahkan $s \to i \to t$ masalah.

Ini adalah masalah NP-hard.

@article{DBLP:journals/tcs/FortuneHW80,
  author    = {Steven Fortune and
               John E. Hopcroft and
               James Wyllie},
  title     = {The Directed Subgraph Homeomorphism Problem},
  journal   = {Theor. Comput. Sci.},
  volume    = {10},
  year      = {1980},
  pages     = {111-121},
  ee        = {http://dx.doi.org/10.1016/0304-3975(80)90009-2},
  bibsource = {DBLP, http://dblp.uni-trier.de}
}