Bagaimana cara membuktikan P

Saya sadar bahwa ini tampaknya pertanyaan yang sangat bodoh (atau terlalu jelas untuk dinyatakan). Namun, saya bingung di beberapa titik.

Kami dapat menunjukkan bahwa P NP$=$ jika dan hanya jika kami dapat merancang algoritma yang memecahkan setiap contoh masalah dalam NP dalam waktu polinomial.

Namun, saya tidak mengerti bagaimana bisa kita membuktikan bahwa P NP . Maafkan saya untuk perumpamaan berikut karena mungkin sangat tidak relevan, tetapi mengatakan kepada seseorang untuk membuktikan jika P tidak sama dengan NP nampak bagi saya seperti memberi tahu seseorang untuk membuktikan bahwa Tuhan tidak ada.$\neq$

Ada satu set masalah, yang tidak dapat diselesaikan oleh Non-deterministic Finite Automata (NFA) dengan jumlah polinomial negara terlepas dari teknologi saat ini (saya tahu ini adalah definisi yang ceroboh). Selain itu, kami memiliki serangkaian algoritma yang sangat besar yang membuat beberapa masalah penting (jalur terpendek, pohon rentang minimum, dan bahkan jumlah bilangan bulat ) masalah waktu polinomial.$1 + 2 + \dots + n$

Singkatnya pertanyaan saya: Jika saya percaya bahwa P NP$=$ , Anda akan mengatakan "maka tunjukkan algoritma Anda yang memecahkan masalah NP dalam waktu polinomial!". Misalkan saya percaya P NP . Lalu apa yang akan Anda tanyakan? Apa yang Anda ingin saya tunjukkan?$\neq$

Jawabannya jelas "bukti Anda". Namun, bukti apa yang menunjukkan bahwa suatu algoritma tidak bisa ada? (dalam hal ini, algoritma waktu polinomial untuk masalah NP )

Ada tiga cara utama yang saya ketahui yang dapat membuktikan bahwa P$\,\neq\,$NP .

1. $\Omega(n\log n)$$n$$O(n^c)$$c$Kompleksitas Sirkuit adalah hal lain.

2. Menunjukkan bahwa P dan  NP memiliki sifat struktural yang berbeda. Misalnya, P  ditutup dengan komplementasi. Jika Anda bisa menunjukkan NP itu$\,\neq\,$co-NP (yaitu, bahwa NP  tidak ditutup di bawah komplementasi), maka harus bahwa P$\,\neq\,$NP . Tentu saja, ini hanya mendorong masalah satu tingkat lebih dalam - bagaimana Anda membuktikan NP itu$\,\neq\,$co-NP ?

   $\exists\mathrm{SO}$

3. Buktikan bahwa beberapa masalah bukan NP- lengkap. Jika P$\,=\,$$\emptyset$$\Sigma^*$ $\,\neq\,$NP .

Singkatnya pertanyaan saya: Jika saya percaya bahwa P = NP , Anda akan mengatakan "maka tunjukkan algoritma Anda yang memecahkan masalah NP dalam waktu polinomial!".

Jangan lupa bahwa Anda masih harus membuktikan bahwa algoritma Anda memecahkan masalah, dan itu berjalan dalam waktu polinomial.

Misalkan saya percaya P ≠ NP . Lalu apa yang akan Anda tanyakan? Apa yang Anda ingin saya tunjukkan?

Pertama, cobalah menjelaskan "mengapa" P ≠ NP , dan mengapa alasan ini dapat digunakan untuk membuktikan P ≠ NP dalam kerangka logis yang sesuai. Kemudian buat sketsa bukti, dan jelaskan bagaimana bagian yang paling meragukannya bisa dipertahankan. Selanjutnya, pilah bukti ini menjadi pernyataan yang lebih sederhana, yang dapat diverifikasi secara independen.

• Sebagai contoh, kerangka kerja logis yang disediakan oleh ZFC adalah baik (bahkan terlalu bagus dalam arti tertentu) dalam membuktikan keberadaan model (dari set aksioma yang diberikan secara eksplisit, bahkan sering memuaskan sifat metalogis tambahan). Jadi jika Anda tahu alasan untuk P ≠ NP terkait dengan keberadaan model dengan beberapa properti aneh, maka pertama-tama jelaskan alasan ini, dan kemudian tunjukkan bagaimana model yang sesuai dapat dibangun dalam ZFC.
• Sebagai contoh, saya percaya bahwa salah satu alasan "mengapa" P ≠ NP adalah bahwa matematika dapat mendekati hampir semua yang terjadi di dunia fisik, termasuk keacakan. Namun, adalah fakta yang diketahui bahwa sistem formal sangat terbatas dalam kemampuan mereka untuk membuktikan string, angka, "objek", atau "artefak" yang diberikan pada dasarnya acak, sehingga tidak mungkin bahwa alasan ini dapat digunakan sebagai bukti. dalam sistem formal deterministik yang diberikan secara eksplisit. Mungkin jika Anda merancang sistem bukti (kuantum) probabilistik jika Anda dapat memverifikasi bukti tertentu dalam sistem hanya hingga probabilitas terbatas tergantung pada sumber daya fisik yang tersedia ...
• Sebagai contoh yang kemungkinan tidak ada, hukum tengah yang dikecualikan pada dasarnya mencerminkan pandangan statis dari alam semesta (matematis), dan karenanya sangat tidak mungkin berlaku di alam semesta yang dinamis. Sekarang NP = coNP (atau keruntuhan lain dari hierarki polinomial) pada dasarnya akan menjadi versi perkiraan dari hukum tengah yang dikecualikan sehubungan dengan kompleksitas waktu, tetapi kompleksitas waktu terlalu dekat dengan alam semesta dinamis untuk memungkinkan hal ini terjadi. Ada kerangka kerja logis seperti logika linier Girard yang mampu menangkap aspek dinamis dari alam semesta, jadi ... Namun perlu dicatat bahwa Brouwer berada dalam situasi yang sama dan sudah menyatakan kegagalan yang diperlukan dari program Hilbert sebagai fakta dalam pidatonya Intuitionism and Formalism pada tahun 1912 (menjelaskan mengapa itu akan menjadi alasan yang melingkar), tetapi masih tidak mampu bahkan membuat sketsa bukti ketidaklengkapan Gödel dari tahun 1930.
• Sebagai contoh perkiraan, mari kita coba untuk menangkap beberapa bukti yang tersedia untuk P ≠ NP , yaitu batas bawah eksponensial untuk politisi penjual keliling , dan prosedur prosedur berbasis resolusi yang tidak dapat diselesaikan untuk kepuasan karena prinsip lubang pancang yang lemah. "Mengapa" dalam kasus ini adalah bahwa kelas tertentu masalah NP-complete tidak dapat diselesaikan secara efisien dengan algoritma yang mengandalkan prinsip-prinsip alami (untuk kelas NP-complete issues dipertimbangkan), seperti formulasi pemrograman linier untuk TSP, atau berdasarkan resolusi metode bukti untuk SAT. Makalah yang berbeda memberikan alasan independen yang berbeda mengapa ini dapat digunakan untuk membuktikan sesuatu, makalah terakhir pada TSP misalnya mengutip "hubungan erat antara reformulasi pemrograman semidefinit LP dan protokol komunikasi kuantum satu arah" sebagai alasan, sedangkan makalah terakhir tentang resolusi mengutip dua alasan independen, yaitu batas bawah "untuk kelas formula yang mewakili prinsip lubang kubah dan untuk formula yang dihasilkan secara acak".
  Anda juga dapat mengamati bahwa ada upaya untuk memperkuat hasil dari waktu ke waktu. Hasil awal untuk TSP hanya menyangkut formulasi pemrograman linier simetris, sedangkan hasil terbaru tidak memiliki batasan seperti itu, dan juga berlaku untuk pemotongan maksimum dan masalah pengaturan stabil maksimum selain TSP. Hasil awal untuk resolusi dianggap hanya prosedur resolusi Davis-Putnam dasar dan satu kelas contoh tandingan buatan, sedangkan hasil terbaru mencakup kelas besar metode berbasis resolusi, dan memberikan beberapa kelas contoh tandingan yang terjadi secara alami.
  Untuk TSP, saya tidak tahu bagaimana hasil harus diperkuat lebih lanjut, kecuali mungkin dengan menerapkan lebih banyak masalah selain TSP, potongan maksimum, dan set stabil maksimum. Untuk resolusi, saya akan memiliki banyak ide bagaimana memperkuat hasil lebih lanjut, tetapi artikel yang saya tautkan adalah dari tahun 2002, Stephen Cook dan Phuong Nguyen menerbitkan monografi Yayasan Logistik Bukti Kompleksitas pada tahun 2010 yang bahkan belum saya telusuri, dan saya kira itu sudah akan mencakup banyak ide saya. Sangat menarik untuk mencatat betapa sedikit perbedaan yang sebenarnya terjadi pada sebagian besar dari kita berapa banyak hasil ini telah diperkuat dari waktu ke waktu, meskipun kami tertarik pada P ≠ NPpertanyaan. Bahkan jika itu telah terbukti sementara itu bahwa algoritma yang mengandalkan sistem logis tanpa setara dengan aturan cut tidak dapat secara efisien menyelesaikan masalah kepuasan, kami masih akan percaya bahwa pada dasarnya tidak ada kemajuan pada P ≠ NP , bahwa masalahnya pada dasarnya masih terbuka seluas biasanya.