Teori tipe intuitionistic “Minimal”?

Saya terkejut bahwa orang terus menambahkan tipe baru dalam teori tipe tetapi tidak ada yang menyebutkan teori minimal (atau saya tidak dapat menemukannya). Saya pikir ahli matematika menyukai hal-hal minimal, bukan?

Jika saya mengerti dengan benar, dalam teori tipe dengan impredicatif Prop, λ-abstraksi dan Π-jenis sudah cukup. Dengan mengatakan sudah cukup maksud saya itu bisa digunakan sebagai logika intuitionistic. Jenis lain dapat didefinisikan sebagai berikut:

⊥ \overset{d e f}{=} Π α : P r o p . α \neg A \overset{d e f}{=} A \to ⊥ A \land B \overset{d e f}{=} Π C : P r o p . (A \to B \to C) \to C A \lor B \overset{d e f}{=} Π C : P r o p . (A \to C) \to (B \to C) \to C \exists_{x : S} (P (x)) \overset{d e f}{=} Π α : P r o p . (Π x : S . P x \to α) \to α

$\bot \stackrel{def}{=} \Pi \alpha: Prop. \alpha \\ \neg A \stackrel{def}{=} A \to \bot \\ A \land B \stackrel{def}{=} \Pi C: Prop. (A \to B \to C) \to C \\ A \lor B \stackrel{def}{=} \Pi C: Prop. (A \to C) \to (B \to C) \to C \\ \exists_{x: S}(P(x)) \stackrel{def}{=} \Pi \alpha: Prop. (\Pi x: S. P x \to \alpha) \to \alpha \\$

Pertanyaan pertama saya adalah, apakah mereka ( λ, Π) sudah cukup? Pertanyaan kedua saya adalah, apa yang kita butuhkan seminimal mungkin jika kita tidak memiliki impredicative Prop, seperti di MLTT? Di MLTT, Church / Scott / penyandian apa pun tidak berfungsi.

Edit: terkait

type-theory dependent-types

— 盛安安
sumber

Apa yang akan menjadi tipe "minimal" menjadi resp. properti apa yang akan dimilikinya, menurut Anda?

— Raphael

Mampu membuktikan apa yang bisa dibuktikan Coq? Aku mengakui bahwa aku tidak memiliki jawaban yang jelas dalam pikiran saya D:

— 盛安安

Tapi saya pernah mendengar bahwa Coq menambahkan polimorfisme alam semesta, yang sistem minimal yang saya usulkan jelas tidak berhasil. Bagaimana dengan "Mampu membuktikan apa yang bisa dibuktikan oleh MLTT (dalam arti normal)."? Saya pikir tipe-W dapat disimulasikan? Meskipun saya belum membungkus kepala saya secara umum.

— 盛安安

Tunggu, sepertinya dengan tidak bijaksana Propkita bahkan tidak membutuhkan kesetaraan.

— 盛安安

Jawaban:

Untuk menguraikan klarifikasi gallais, teori tipe dengan Prop impredikatif, dan tipe dependen, dapat dilihat sebagai beberapa subsistem dari kalkulus konstruksi, biasanya dekat dengan teori tipe Gereja . Hubungan antara teori tipe Gereja dan CoC tidaklah sesederhana itu, tetapi telah dieksplorasi, terutama oleh artikel Geuvers yang luar biasa .

Namun, untuk sebagian besar tujuan, sistem dapat dilihat setara. Maka memang, Anda dapat bertahan dengan sangat sedikit, khususnya jika Anda tidak tertarik pada logika klasik, maka satu-satunya hal yang benar-benar Anda butuhkan adalah aksioma ketidakterbatasan : tidak dapat dibuktikan dalam CoC bahwa semua jenis memiliki lebih dari 1 elemen! Tetapi dengan hanya sebuah aksioma yang menyatakan bahwa beberapa tipe tidak terbatas, katakanlah tipe bilangan alami dengan prinsip induksi dan aksioma , Anda bisa mendapatkan cukup jauh: sebagian besar matematika sarjana dapat diformalkan dalam sistem ini (agak sulit) untuk melakukan beberapa hal tanpa tengah dikecualikan). $0\neq 1$

Tanpa Prop yang merusak, Anda perlu sedikit lebih banyak pekerjaan. Seperti disebutkan dalam komentar, sistem ekstensional (sistem dengan ekstensionalitas fungsional dalam hubungan kesetaraan) dapat bertahan dengan hanya dan -tipe, , tipe kosong dan unit dan , dan tipe-W. Dalam pengaturan intensif itu tidak mungkin: Anda perlu lebih banyak induktif. Perhatikan bahwa untuk membangun berguna W-jenis, Anda harus mampu membangun jenis oleh eliminasi lebih seperti: $\Sigma$ $\Pi$ $\mathrm{Bool}$ $\bot$ $\top$ $\mathrm{Bool}$

saya f b t h e n ⊤ e l s e ⊥

$\mathrm{if}\ b\ \mathrm{then}\ \top\ \mathrm{else}\ \bot$

Untuk melakukan meta-matematika Anda mungkin perlu setidaknya satu semesta (katakanlah, untuk membangun model Aritmatika Heyting).

Semua ini tampak seperti banyak, dan tergoda untuk mencari sistem yang lebih sederhana yang tidak memiliki impredicativity gila dari CoC, tetapi masih relatif mudah untuk menuliskannya dalam beberapa aturan. Salah satu usaha baru untuk melakukannya adalah sistem $\Pi\Sigma$ dijelaskan oleh Altenkirch et al . Ini tidak sepenuhnya memuaskan, karena pemeriksaan positif yang diperlukan untuk konsistensi bukanlah bagian dari sistem "sebagaimana adanya". Teori meta masih perlu disempurnakan juga.

Tinjauan yang bermanfaat adalah artikelnya. Apakah ZF hack? oleh Freek Wiedijk, yang sebenarnya membandingkan angka keras pada semua sistem ini (jumlah aturan dan aksioma).

— cody
sumber

Σ

$\Sigma$

Sebenarnya tidak, saya percaya Anda harus menganggap itu juga. Kesalahanku.

— cody

Masalah dengan pengkodean Gereja adalah bahwa Anda tidak dapat memperoleh prinsip - prinsip induksi untuk tipe Anda yang berarti bahwa prinsip - prinsip itu sangat tidak berguna dalam hal membuktikan pernyataan tentangnya.

Dalam hal minimnya sistem, satu jalur yang disebutkan dalam komentar adalah dengan menggunakan wadah dan (W / M) -tipe tetapi mereka agak ekstensional sehingga tidak benar-benar nyaman untuk bekerja dengan sistem seperti Coq atau Agda.

$\Pi$ $\Sigma$ $\mu$ $\nu$

$\mu$ $\nu$

— gallais
sumber