Alasannya bukan teorema otomatis bahwa "keputusan sulit menyiratkan bahwa penghitungan itu sulit" adalah bahwa kedua pernyataan ini menggunakan definisi berbeda dari "keras".
Masalah keputusan sulit jika NP- lengkap di bawah banyak-satu pengurangan polinomial (alias pengurangan Karp, alias pengurangan pemetaan polinomial-waktu).
Masalah penghitungan sulit jika #P -lengkap di bawah pengurangan Turing polinomial waktu (alias pengurangan Cook).
Dengan demikian, jika masalah keputusan adalah NP- lengkap, kita tahu bahwa masalah penghitungan yang sesuai adalah NP-keras tetapi itu bukan definisi dari apa masalah penghitungan sulit. Menjadi #P -lengkap tampaknya menjadi pernyataan yang jauh lebih kuat dari sekedar menjadi NP -hard - Toda telah menunjukkan bahwa masalah #P -lengkap sulit untuk seluruh hierarki polinomial di bawah pengurangan acak sehingga, sebagai kelas kompleksitas, #P terasa lebih dekat ke PSPACE daripada ke NP .
Pergi ke arah yang berlawanan, itu jelas benar bahwa, jika masalah penghitungan mudah dalam arti berada di FP , maka masalah keputusan dalam P . Lagi pula, jika Anda dapat menghitung dengan efisien, Anda tentu dapat mengetahui apakah jawabannya bukan nol. Namun, hanya karena versi penghitungannya "tidak sulit" (yaitu, tidak #P -lengkap ) tidak menyiratkan bahwa itu "mudah" (yaitu, dalam FP ). Teorema Ladner meluas ke #P jadi, jika FP≠** # P ** lalu ada hierarki tak terbatas dari kelas kompleksitas yang berbeda di antara mereka sehingga masalah penghitungan "tidak sulit" kami dapat diselesaikan untuk salah satu dari kelas tersebut dan, karenanya, tidak menjadi "mudah" (dalam FP ).
Karena itu, saya tidak berpikir kita memiliki contoh tandingan untuk dugaan bahwa masalah keputusan menjadi NP -complete berarti bahwa versi penghitungan adalah #P -complete. Jadi, itu bukan teorema tetapi secara empiris benar.