Buktikan n! sepenuhnya konstruktif waktu

Kami baru saja selesai kami "Waktu Konstruksi gedung" pelajaran di kelas minggu lalu, dan kami, demi contoh ini, menunjukkan bahwa sepenuhnya waktu constructible, yaitu terdapat (multi-tape deterministik) mesin Turing bahwa untuk diberikan, berhenti setelah tepat langkah, dan hanya bertanya apakah kita sekarang bisa membuktikan bahwasepenuhnya dapat dibangun (dan dipindahkan).$n^k, 2^n$$n$$f(n)$$n!$

Saya tidak yakin bagaimana buktinya, tetapi saya berpikir harus menggunakan konstruk waktu sampai batas tertentu, atau identitas yang melibatkan faktorial, karena kami menunjukkan (sepenuhnya) konstruktif waktu menggunakan .$n^k$$n^k$$n^k = n + \sum_{i=1}^{i=k-1}(n - 1)n^i$

Petunjuk juga akan dihargai, sungguh. Terima kasih sebelumnya.

Mari kita asumsikan kita telah menemukanpada input . Kompleksitas kami adalah panjang input (kami menganggapnya sebagai ). Penggandaan bit oleh nomor bit melalui perkalian standar membutuhkan operasi (juga setelah jumlah penggandaan bit dalam resultan jika ). Kami mengalikan secara linear dalam satu lingkaran dari ke untuk mendapatkan. Jadi jumlah operasi yang dilakukan dibatasi oleh . Dengan demikian, ruang dan waktu dapat dibangun.$n!$$n$$L=O(logn)$$k$$l$$O(kl)$$O(k+l)$$1$$n$$n!$$\# = L^2 ( 1 + 2 ...(n-1) ) = \frac{L^2n(n-1)}{2} = O(L^22^{O(L)})=o(L!)$