Algoritma waktu linier untuk menemukan

Definisi. Diberikan grafik$G=(V,E)$ dan dua simpul $s$ dan $t$, itu $k$masalah -shortest-paths adalah menemukan $k$ jalur sederhana terpendek antara $s$ dan $t$ di $G$.

Perhatikan bahwa panjang jalur ini tidak harus sama, dan simpul $s$ dan $t$ tentu saja $k$-terhubungan Saya bertanya-tanya apakah ada waktu linier (dalam hal$n$ dan $m$) algoritma untuk masalah ini.

Saya telah melihat beberapa makalah dalam literatur, seperti " Implementasi Baru Algoritma Loopless Ranking Ranking Yen " tetapi kompleksitas waktu sangat tinggi$O(Kn(m+nlogn))$. Juga, makalah lain oleh Epstein " Menemukan jalur terpendek k " menyajikan algoritma yang menemukan$k$ jalur terpendek yang tidak harus jalur sederhana dengan waktu berjalan $O(n+m+k)$.

Apakah ada algoritma linear-waktu untuk $k$-simple-shortest-paths problem?

Pertama-tama, jawaban yang berlaku di sini sudah diberikan oleh Raphael dalam komentar untuk pertanyaan: " Mengingat bahwa kita bahkan tidak tahu bagaimana menemukan satu jalur terpendek sederhana dalam waktu linear, saya ragu. " Berikut ini, dengan demikian, saya akan menganggap Anda tertarik mengetahui tentang algoritma terbaik yang tersedia dalam keadaan saat ini. Berikut ini, saya menggambarkan ikatan kasus terburuk terbaik (sesuai pengetahuan saya) tetapi juga algoritma yang mungkin berjalan dalam waktu linier dalam beberapa kasus tertentu.

Tetapi sebelum menggambarkan perkembangan terbaru dalam keadaan seni, saya ingin menekankan pentingnya jalur sederhana dalam masalah khusus ini. Faktanya, banyak orang mengabaikan pentingnya persyaratan ini dan beberapa bahkan tidak memahaminya pada pandangan pertama.

Ketika menghitung jalur terpendek dari mulai titik ke titik tujuan, jalur optimal tentu sederhana , yaitu, tidak mengulangi simpul apa pun. Namun, saat komputasi$k$jalur optimal, jalur kedua, ketiga, ... jalur terbaik mungkin tidak sederhana. Untuk membuktikannya, saya berikan di sini sebuah contoh yang telah sedikit diadaptasi dari Hershberger, Maxel & Suri, 2007:

Gambar ini menunjukkan digraf yang solusi optimalnya (dari titik sumber $s$ ke titik tujuan $t$) adalah path $\pi_1 : \langle s, A, B, C, D, t\rangle$ dengan biaya sama dengan 5. Jika jalur tidak harus sederhana, maka jalur optimal kedua dan ketiga adalah $\pi_2 : \langle s, A, B, C, D, C, D, t\rangle$ dan $\pi_3 : \langle s, A, B, A, B, C, D, t\rangle$ keduanya dengan biaya sama dengan 7. Namun, jika jalur harus sederhana, maka jalur optimal kedua dan ketiga akan menjadi $\pi_2 : \langle s, F, t\rangle$ dan $\pi_3 : \langle s, G, t\rangle$ dengan biaya 10 dan 11, masing-masing.

Diberikan grafik $G(V, E)$ dimana $V$ adalah himpunan simpul dan $\langle u, v\rangle\in E, u, v\in V$ jika ada tepi antara simpul $u$ dan $v$, keadaan terkini untuk masalah ini sejauh yang saya ketahui dijelaskan di bawah ini:

Peningkatan signifikan pertama untuk menyelesaikan $k$ masalah jalur optimal adalah algoritma Eppstein (Eppstein, 1998) yang berjalan di $O(|E|+|V|\log |V|+k)$. Namun, algoritma ini membutuhkan grafik untuk diberikan secara eksplisit.$K^*$meringankan persyaratan ini dengan tetap mempertahankan kompleksitas yang rendah (Aljazzar & Leue, 2011) dan, di samping itu, memungkinkan penerapan heuristik yang dapat diterima. Dalam kedua kasus, output yang dihitung oleh algoritma ini tidak selalu merupakan jalur yang sederhana.

Dalam hal jalur diperlukan untuk menjadi sederhana, hasil terbaik adalah karena Yen (Yen, 1971, 1972), digeneralisasi kemudian oleh Lawler (Lawler, 1972), yang menggunakan struktur data modern dapat diimplementasikan dalam $O(k|V|(|E|+|V|\log |V|))$waktu terburuk. Dalam kasus grafik tidak terarah, Katoh, Ibaraki dan Mine (Katoh, Ibaraki & Mine, 1982) meningkatkan algoritma Yen untuk$O(k(|E|+|V|\log |V|))$waktu. Sementara kasus terburuk asimptotik Yen terikat untuk pencacahan$k$ jalur terpendek sederhana dalam grafik terarah tetap tak terkalahkan (sekali lagi, sepengetahuan saya!), beberapa upaya telah dilakukan untuk mengungguli itu dalam praktik.

Salah satu karya tersebut adalah karena John Hershberger et al., Yang memperkenalkan algoritma jalur penggantian yang dikenal gagal hampir tidak ada. Alhasil, algoritma mereka memberikan kecepatan yang tumbuh secara linear dengan jumlah rata-rata tepi di$k$ jalur terpendek tetapi, untuk beberapa kasus (sebagai grafik acak), peningkatan ini diminimalkan.

Semoga ini membantu,

Bibliografi

Aljazzar, H. & Leue, S. (2011). $K^*$: Algoritma pencarian heuristik untuk menemukan $k$jalur terpendek. Kecerdasan Buatan, 175 (18), 2129-2154.

Eppstein, D. (1998). Menemukan$k$jalur terpendek. Jurnal SIAM tentang Komputer, 28 (2), 652-673.

Hershberger, J., Maxel, M. & Suri, S. (2007). Menemukan$k$jalur sederhana terpendek: Algoritma baru dan implementasinya. Transaksi ACM pada Algoritma, 3 (4), 45-46

Katoh, N., Ibaraki, T. & Mine, H. (1982). Algoritma yang efisien untuk$k$jalur sederhana terpendek. Jaringan, 12, 411-427.

Lawler, EL (1972). Prosedur untuk menghitung$k$solusi terbaik untuk masalah optimasi diskrit dan penerapannya ke masalah jalur terpendek. Ilmu Manajemen, 18, 401-405.

Yen, JY (1971). Menemukan$k$jalur loopless terpendek dalam jaringan. Ilmu Manajemen, 17, 712-716.

Yen, JY (1972). Algoritma lain untuk menemukan$k$jalur jaringan tanpa loop terpendek. Prosiding Masyarakat Manajemen Operasi Riset ke-41 Amerika, 20.