Decidability dari masalah tentang polinomial

11

Saya telah menemukan masalah menarik berikut: misalkan menjadi polinomial di atas bidang bilangan real, dan mari kita anggap bahwa koefisien mereka semuanya bilangan bulat (yaitu, ada representasi persis terbatas dari polinomial ini). Jika diperlukan, kita dapat menganggap bahwa tingkat kedua polinomial sama. Mari kita dilambangkan dengan (resp. ) nilai absolut terbesar dari beberapa akar (real atau kompleks) dari polinomial (resp. ). Apakah properti dapat dipilih? $p,q$ $x_p$ $x_q$ $p$ $q$ $x_p = x_q$

Jika tidak, apakah properti ini berlaku untuk beberapa keluarga terbatas polinomial? Dalam konteks dari mana masalah ini muncul, polinomial adalah polinomial karakteristik dari matriks, dan akarnya adalah nilai eigen.

Saya mengetahui beberapa algoritma numerik untuk menghitung akar polinomial / nilai eigen, namun ini sepertinya tidak ada gunanya di sini, karena output dari algoritma ini hanya perkiraan. Menurut saya aljabar komputer mungkin berguna di sini, namun, sayangnya, saya tidak memiliki hampir semua pengetahuan di bidang itu.

Saya tidak mencari solusi terperinci untuk masalah ini, namun intuisi dan ide mana pun untuk mencari solusi akan sangat membantu.

Terima kasih sebelumnya.

computability undecidability computer-algebra

— 042
sumber

Jika Anda dapat menghitung bidang pemisahan maka Anda bisa menuliskan keduanya dalam bentuk

dan bandingkan; untuk beberapa bidang, bidang pemisahan tidak dapat dihitung tetapi saya tidak yakin apakah ini berlaku untuk ekstensi

?

(x - x_{0}) (x - x_{1}) \dots

$(x-x_0)(x-x_1)\dots$

Q

$\mathbb{Q}$

— Xodarap

5

Saya juga tidak memiliki pengetahuan di bidang itu, tetapi saya pikir saya dapat memberikan jawaban yang tidak konstruktif.

Teori orde pertama dari bidang tertutup nyata dapat dipilih. Masalah Anda dapat dinyatakan sebagai sistem persamaan aljabar dan persamaan atas angka aljabar asli. Pertimbangkan variabel $2 (\deg P + \deg Q)$ . Anda ingin mengetahui apakah sistem berikut ini memuaskan: $x_1,\ldots,x_{\deg P}, y_1,\ldots,y_{\deg P}, x'_1,\ldots,x'_{\deg P}, y'_1,\ldots,y'_{\deg P}$

\begin{align*}  P(x_j+i\,y_j) &= 0 & \text{for \(1 \le j \le \deg P\)} \\  Q(x'_k+i\,y'_k) &= 0 & \text{for \(1 \le k \le \deg Q\)} \\  x_j^2 + y_j^k &\le x_1^2 + x_2^2 & \text{for \(2 \le j \le \deg P\)} \\  x'_j^2 + y'_j^k &\le x'_1^2 + x'_2^2 & \text{for \(2 \le k \le \deg Q\)} \\  x_1^2 + y_1^2 = x'_1^2 + y'_1^2 \\\end{align*}

$\begin{align*} P(x_j+i\,y_j) &= 0 & \text{for $1 \le j \le \deg P$} \\ Q(x'_k+i\,y'_k) &= 0 & \text{for $1 \le k \le \deg Q$} \\ x_j^2 + y_j^k &\le x_1^2 + x_2^2 & \text{for $2 \le j \le \deg P$} \\ x'_j^2 + y'_j^k &\le x'_1^2 + x'_2^2 & \text{for $2 \le k \le \deg Q$} \\ x_1^2 + y_1^2 = x'_1^2 + y'_1^2 \\ \end{align*}$

Dua keluarga persamaan pertama menyatakan bahwa dan $x_j+i\,y_j$ adalah akar dari polinomial, dua keluarga persamaan berikutnya menyatakan bahwa $x'_k+i\,y'_k$ dan $x_1+i\,y_1$ memiliki nilai absolut terbesar, dan ketidaksetaraan terakhir membandingkan nilai absolut terbesar ini. $x'_1+i\,y'_1$

Dapat diputuskan apakah sistem ini memuaskan: masalah Anda dapat diputuskan. Namun, pernyataan ini mungkin bukan cara yang paling efisien untuk melakukannya.

Jawaban yang lebih berguna mungkin melibatkan teori pangkalan Gröbner . Jika Anda mencoba untuk memecahkan masalah itu untuk Anda sendiri, saya pikir membaca beberapa bab pertama dari setiap buku aljabar komputasi akan memberi Anda latar belakang yang diperlukan. Jika Anda hanya bertujuan untuk menyelesaikan masalah mendasar Anda, mungkin ada algoritma yang bisa Anda terapkan.

— Gilles 'SANGAT berhenti menjadi jahat'
sumber

1

Saya mungkin salah tentang hal ini: Saya juga tidak terlalu berpengetahuan di bidang ini (di mana para ahli !?), tapi saya percaya saya memiliki algoritma yang cukup cepat untuk apa yang Anda minta.

$P$ $I$ $x_P\in I$ $x_P'\notin I$ $P$ $R$ $P$ $Q$ $R$ $I$

$R$ $P$ $Q$ $I$ $x_P$ $Q$

Ini hanya sebuah sketsa, tetapi tidak perlu banyak untuk mengubahnya menjadi algoritma yang bonafid , bahkan saya menduga bahwa penggunaan Maple atau Mathematica akan membuat ini sepele.

— cody
sumber