Bisakah Turing Machine (TM) memutuskan apakah masalah penghentian berlaku untuk semua TM?

9

Di situs ini ada banyak varian pada pertanyaan apakah TM dapat memutuskan masalah penghentian, apakah untuk semua TM lain atau subset tertentu. Pertanyaan ini agak berbeda.

Ia bertanya apakah fakta masalah penghentian berlaku untuk semua TM dapat diputuskan oleh TM. Saya percaya jawabannya tidak, dan ingin memeriksa alasan saya.

Tetapkan bahasa penghentian-meta sebagai bahasa yang terdiri dari TM yang memutuskan apakah TM berhenti. $L_{MH}$

L_{M H} = {M : \forall_{M^{'}, w} M (M^{'}, w) accepts if M^{'} (w) halts, rejects otherwise}

$L_{MH} = \{ M : \forall_{M',w} M(M', w) \text{ accepts if $M'(w)$ halts, rejects otherwise}\}$

karena masalah penghentian. $L_{MH}= \emptyset$

Dengan demikian, pertanyaan judul lebih tepat dinyatakan: apakah dapat diputuskan apakah ? $L_{MH} = \emptyset$

Menurut teorema Rice, tidak dapat dipastikan apakah suatu bahasa kembali kosong.
Dalam kedua kasus, jika adalah atau tidak kembali, tidak dapat diputuskan apakah . $L_{MH}$ $L_{MH} = \emptyset$
Oleh karena itu, tidak dapat diputuskan apakah . $L_{MH} = \emptyset$

Ini membuktikan bahwa TM tidak dapat memutuskan apakah masalah penghentian berlaku untuk semua TM.

Apakah pemahaman saya benar?

UPDATE: Saya mencoba untuk menunjukkan bahwa TM tidak dapat "membuktikan masalah berhenti" untuk beberapa definisi "membuktikan" yang tampaknya secara intuitif benar. Di bawah ini adalah ilustrasi mengapa saya pikir ini benar.

Kita bisa membuat TM yang menghasilkan dengan cara berikut. TM mengambil tupel . Ini mensimulasikan untuk iterasi . Jika menerima semua $M_{MH}$ $L_{MH}$ $(M_i,M_j,w_k,steps)$ $M_i(M_j, w_k)$ $steps$ $M_i$ $(M_j, w_k)$ pasang yang berhenti, dan tolak semua yang lain maka menerima . Kalau tidak, ia menolak jika salah memutuskan atau gagal menghentikannya. $M_{MH}$ $M_i$ $M_i$ $M_i$

tidak menghentikan, karena harus mengevaluasi jumlah tak terbatas pasang untuk setiap . Selain itu, semua akan gagal untuk berhenti. tidak akan dapat menerima atau menolak karena tidak akan tahu dari simulasi bahwa semua akan gagal dihentikan. Jadi, bahasa yang didefinisikannya tidak re dan tidak decidable. $M_{MH}$ $M_i$ $M_i$ $M_{MH}$ $M_i$ $M_i$

menangkap intuisi saya tentang apa yang saya pikir itu berarti untuk TM untuk membuktikan masalah terputus-putus. Saran lain, seperti menolak semua atau mengeluarkan bukti yang diketahui, beri tahu pengetahuan sebelumnya bahwa masalah penghentian berlaku untuk semua . Hal ini tidak dapat dihitung sebagai membuktikan sesuatu karena premis 's adalah kesimpulan itu membuktikan, dan dengan demikian melingkar. $M_{MH}$ $M_{MH}$ $M_i$ $M_{MH}$ $M_i$ $M_{MH}$ $M_{MH}$

— ya
sumber

3

Perbaikan Anda tidak membantu. Masalah tanpa parameter selalu dapat diputuskan, baik oleh mesin Turing yang selalu menampilkan YA, atau oleh yang selalu menghasilkan TIDAK. Sayangnya, argumen Anda tidak berfungsi. Analog sebenarnya dari teorema Gödel adalah teorema Rice.

— Yuval Filmus

5

"Itu menanyakan apakah fakta masalah penghentian berlaku untuk semua TM dapat diputuskan oleh TM." - kueri itu tidak masuk akal karena masalah penghentian tidak "berlaku" untuk satu set TM. Setidaknya, saya tidak tahu apa artinya itu.

— Raphael

4

{M : L (M) = \emptyset}

$\{ M : L(M) = \emptyset \}$

\emptyset

$\emptyset$

\emptyset

$\emptyset$

7

Saya pikir kesalahpahaman dalam arti ungkapan "memutuskan X". Secara formal, X harus menjadi predikat pada string, dan kemudian mesin memutuskan X adalah salah satu yang di masukan s output nilai kebenaran dari X ( s ). Apa predikat dalam kasus Anda? Apa inputnya, dan kapan itu benar?

— Yuval Filmus

5

X

$X$

X

$X$

5

$\varphi$ $L_{MH} = \emptyset$

$P = \{ x \mid x \mbox{ is a valid proof of } \varphi \mbox{ in ZFC}\}$
$M$ $\varphi$ $\neg \varphi$ $M$
$\{ M \mid M \mbox{ decides } P \}$

— Vor
sumber

19

Bahasa mesin Turing yang memutuskan masalah penghentian dapat ditentukan. Mesin Turing yang memutuskannya selalu menghasilkan TIDAK.

$\emptyset$

$T$ $L(T) = \emptyset$

— Yuval Filmus
sumber

7

Bahasa kosong dapat dipilih. Menghadapinya.

— Yuval Filmus

15

Bahasa mesin Turing yang memutuskan masalah penghentian kosong. Bahasa kosong dapat dipilih. Oleh karena itu bahasa mesin Turing yang memutuskan masalah penghentian dapat ditentukan.

— Yuval Filmus

1

Pertanyaannya adalah apakah TM dapat memutuskan bahasa mesin Turing yang memutuskan masalah penghentian kosong. TM tidak dapat melakukan ini seperti yang saya tunjukkan di atas.

— Yters

1

@Yters Apakah Anda bertanya apakah TM dapat membuktikan bahwa bahasa itu kosong? Ini dapat dengan mudah melakukannya, hanya dengan mengeluarkan bukti yang sudah diketahui.

— user253751

3

Apa artinya bagi seorang TM untuk membuktikan sesuatu?

— Yuval Filmus

2

Anda salah paham teorema Rice.

Teorema Rice, dalam konteks ini, mengatakan bahwa Anda tidak dapat memutuskan masalah "Apakah T memutuskan bahasa kosong?".

Masalah Anda bukan tentang memutuskan apakah mesin Turing yang sewenang-wenang memutuskan bahasa kosong. Masalah Anda adalah apakah ada M yang memutuskan bahasa kosong atau tidak.

Dan M seperti itu memang ada. Anda bahkan dapat melakukan lebih baik dari itu: Anda benar-benar dapat membangun M seperti itu dan memberikan bukti bahwa itu memutuskan bahasa kosong.

Masalah umum yang tidak dapat diputuskan bukan berarti Anda tidak bisa menyelesaikan kasus tertentu. Bahkan, dengan alat yang biasa menghitung semua bukti, ada mesin turing yang:

Menerima setiap mesin turing yang memiliki bukti bahwa ia memutuskan bahasa kosong
Tolak setiap mesin turing yang memiliki bukti bahwa ia tidak memutuskan bahasa kosong
Tidak berhenti jika tidak dapat dibuktikan dengan cara apa pun.

1

Definisi tentang decidability dari Wikipedia :

Bahasa rekursif adalah bahasa formal di mana ada mesin Turing yang, ketika disajikan dengan string input terbatas , berhenti dan menerima jika string dalam bahasa, dan menghentikan dan menolak sebaliknya. Mesin Turing selalu berhenti: itu dikenal sebagai penentu dan dikatakan memutuskan bahasa rekursif.

Dengan kata lain, dapat dipastikan jika ada mesin Turing yang memutuskan semua string input. Tidak dapat dipungkiri jika untuk setiap mesin Turing, ia tidak memutuskan semua string input, yang berarti ia dapat memutuskan tidak ada atau beberapa string, tetapi setidaknya ada satu (tetapi praktis setidaknya tak terbatas dari mereka) yang tidak dapat memutuskan.

$L$ $L = \emptyset$ $L_{MH} = \emptyset$

— pengguna23013
sumber