Katakanlah saya menemukan algoritma 2-aproksimasi untuk masalah tertentu dan saya ingin menunjukkan bahwa analisisnya ketat.
Apakah saya sekarang perlu untuk datang dengan sebuah contoh ukuran generik atau tidak cukup untuk menunjukkan bahwa saya memiliki contoh ukuran yang algoritma menghasilkan ?
Jawaban:
Itu tergantung pada definisi Anda tentang rasio aproksimasi. Biasanya rasio pendekatan didefinisikan sebagai rasio terburuk antara solusi optimal dan yang dihasilkan oleh algoritma Anda. Jika ini masalahnya, semua yang Anda perlu tunjukkan bahwa rasionya ketat muncul dengan satu contoh buruk.
Namun, terkadang, Anda membuktikan sesuatu seperti . Ini berarti bahwa rasio perkiraan Anda benar-benar . Untuk menunjukkan bahwa ini ketat, Anda akan membutuhkan contoh untuk banyak ukuran tanpa batas (tetapi belum tentu untuk ukuran umum ; mungkin semua contoh Anda memiliki ukuran genap).
Jika algoritme Anda mencapai sekitar 1,5 perkiraan pada semua kecuali satu set terbatas , di mana algoritma Anda mencapai 2-aproksimasi, maka Anda dapat "meningkatkan" algoritme Anda dengan "menyiapkan" solusi optimal untuk instance dalam ke dalam algoritma Anda . Singkatnya, untuk tujuan teoretis, suatu algoritma yang berhasil pada semua kecuali sejumlah contoh yang terbatas sama baiknya dengan algoritma yang selalu berhasil. Oleh karena itu, contoh ketat yang bermakna secara teoritis sebenarnya adalah keluarga tak terbatas contoh ketat. Seperti yang Yuval katakan, keluarga contoh tak terbatas mana pun akan melakukannya, Anda tidak perlu contoh untuk setiap ukuran instance.
Yang sedang berkata, sebagian besar masalah memungkinkan Anda untuk "meningkatkan" contoh kecil menjadi yang lebih besar.