Membuktikan DOUBLE-SAT adalah NP-complete

Masalah SAT yang terkenal didefinisikan di sini untuk referensi.

Masalah DOUBLE-SAT didefinisikan sebagai

$\qquad \mathsf{DOUBLE\text{-}SAT} = \{\langle\phi\rangle \mid \phi \text{ has at least two satisfying assignments}\}$

Bagaimana kita membuktikannya sebagai NP-complete?

Lebih dari satu cara untuk membuktikan akan dihargai.

Berikut ini satu solusinya:

Double-SAT jelas milik , karena NTM dapat memutuskan Double-SAT sebagai berikut: Pada formula input Boolean , secara nondeterministis menebak 2 penugasan dan memverifikasi apakah keduanya memenuhi .${\sf NP}$$\phi(x_1,\ldots,x_n)$$\phi$

Untuk menunjukkan bahwa Double-SAT adalah -Complete, kami memberikan pengurangan dari SAT ke Double-SAT, sebagai berikut:${\sf NP}$

Saat menginput :$\phi(x_1,\ldots,x_n)$

1. Memperkenalkan variabel baru .$y$
2. Rumus output .$\phi'(x_1,\ldots,x_n, y) = \phi(x_1,\ldots,x_n) \wedge (y \vee \bar y)$

Jika milik SAT, maka memiliki setidaknya 1 penugasan yang memuaskan, dan oleh karena itu memiliki setidaknya 2 penugasan yang memuaskan yang dapat kami penuhi klausa baru ( ) dengan menetapkan baik atau ke variabel baru , jadi ( , ..., , ) Double-SAT.$\phi (x_1,\ldots,x_n)$$\phi$$\phi'(x_1,\ldots,x_n, y)$$y \vee \bar y$$y = 1$$y = 0$$y$$\phi'$$x_1$$x_n$$y$$\in$

Di sisi lain, jika , maka jelas juga tidak memiliki tugas yang memuaskan, jadi .$\phi(x_1,\ldots,x_n)\notin \text{SAT}$$\phi' (x_1,\ldots,x_n, y) = \phi (x_1,\ldots,x_n) \wedge (y \vee \bar y)$$\phi'(x_1,\ldots,x_n,y) \notin \text{Double-SAT}$

Oleh karena itu, , dan karenanya Double-SAT adalah -Lengkap.$\text{SAT} \leq_p \text{Double-SAT}$${\sf NP}$

Anda tahu bahwa adalah NP-complete. Dapatkah Anda menemukan pengurangan dari ke ? Yaitu, dapatkah Anda memanipulasi formula yang memuaskan sehingga hasilnya memiliki setidaknya dua tugas yang memuaskan? Perhatikan bahwa manipulasi yang sama tidak dapat membuat formula yang tidak memuaskan memuaskan.$\mathsf{SAT}$$\mathsf{SAT}$$\mathsf{DOUBLE\text{-}SAT}$

Untuk rumus apa pun , rumus memiliki setidaknya dua kali jumlah penjaminan memuaskan sebagai , dengan homomorfisme yang mengubah nama semua variabel menjadi nama baru.$\varphi$$\varphi \lor f(\varphi)$$\varphi$$f$