Decidability of Equality of Radical Expressions

Pertimbangkan istilah yang dibangun dari elemen $\mathbb Q$ dan operasi $+,\times,-,/$, dan $\sqrt[n]{\,\cdot\,}$ untuk setiap bilangan alami $n$. Mengingat janji bahwa dua istilah terbentuk dengan baik - yaitu, tidak ada pembagian dengan nol, dan bahkan tidak ada akar angka negatif - apakah ada algoritma yang memutuskan kapan kedua istilah itu sama?

Pertanyaan terkait telah diposting di sini , tetapi lebih umum (karena memungkinkan eksponensial sewenang-wenang, bukan hanya dengan angka-angka rasional).

Iya. Dengan analog bilangan real dari transformasi Tseytin , yang
mereduksi ke teori eksistensial real , yang ada di PSPACE oleh

halaman 291 dan bagian bawah halaman 290 dari makalah ini
dan
jawaban untuk pertanyaan ini

.


Untuk semua bilangan real$x$, $\sqrt{x^2}$ dan $x$ keduanya terbentuk dengan baik dan $\sqrt{x^2} = x$ Jika dan hanya jika $0\leq x$, Jadi menguji ketimpangan mengurangi masalah Anda. Saya tidak mengetahui adanya batas atas yang lebih baik untuk menguji ketidaksetaraan jumlah akar kuadrat dari makalah ini , yang menempatkannya dalam hierarki penghitungan .

1. Bilangan aljabar adalah solusi polinomial dengan koefisien rasional.
2. $+,\times,-,/$angka aljabar menghasilkan angka aljabar karena angka aljabar membentuk bidang ( 1 ). Ini berarti radikal bersarang adalah angka aljabar juga ( 2 ).
3. Radikal bersarang dapat dibantah dengan algoritma ( 3 , 4 ).
4. Setiap jumlah derajat aljabar $n$ dapat secara unik direpresentasikan sebagai $n$ oleh $n$ matriks bilangan bulat di bawah dasar yang sesuai (misalnya, $[1,x, (x^2+1)/2]$). Representasi ini memungkinkan evaluasi simbolis$+,\times,-,/$oleh penambahan matriks, perkalian, dan kebalikan (p.159 dari 5 , 6 , 7 ).
5. Dua istilah sama jika representasi uniknya identik.