Kurangi masalah berikut menjadi SAT

Inilah masalahnya. Diberikan , di mana setiap . Apakah ada subset dengan ukuran paling banyak sehingga untuk semua ? Saya mencoba mengurangi masalah ini menjadi SAT. Gagasan saya tentang solusi adalah memiliki variabel untuk masing-masing 1 hingga . Untuk setiap , buat klausa jika . Kemudian dan semua klausa ini bersama. Tapi ini jelas bukan solusi yang lengkap karena tidak mewakili kendala bahwa$k, n, T_1, \ldots, T_m$$T_i \subseteq \{1, \ldots, n\}$$S \subseteq \{1, \ldots, n\}$$k$$S \cap T_i \neq \emptyset$$i$$x_i$$n$$T_i$$(x_{i_1} \vee \cdots \vee x_{i_k})$$T_i = \{i_1, \ldots, i_k\}$$S$paling banyak harus memiliki elemen. Saya tahu bahwa saya harus membuat lebih banyak variabel, tapi saya tidak yakin bagaimana caranya. Jadi saya punya dua pertanyaan:$k$

1. Apakah ide saya tentang solusi berada di jalur yang benar?
2. Bagaimana seharusnya variabel baru dibuat sehingga mereka dapat digunakan untuk mewakili kardinalitas kendala?$k$

Sepertinya Anda mencoba menghitung transversal hypergraph dengan ukuran . Artinya, { T 1 , ... , T m } adalah Anda hipergraf, dan S adalah Anda transversal. Terjemahan standar adalah untuk mengekspresikan klausa seperti yang Anda miliki, dan kemudian menerjemahkan batasan panjang menjadi kendala kardinalitas.$k$$\{T_1,\dots,T_m\}$$S$

Jadi gunakan encoding yang ada, yaitu, dan kemudian menambahkan klausul encoding Σ 1 ≤ i ≤ n x i ≤ k .$\bigwedge_{1 \le j \le m} \bigvee_{i \in T_j} x_i$$\sum_{1 \le i \le n} x_i \le k$

adalah kendala kardinalitas. Ada berbagai terjemahan kendala kardinalitas yang berbeda ke dalam SAT.$\sum_{1 \le i \le n} x_i \le k$

Terjemahan kendala kardinalitas yang paling sederhana namun agak besar hanyalah . Dengan cara ini setiap disjungsi mewakili kendala ¬ ⋀ i ∈ X x i - untuk semua himpunan bagian X dari { 1 , … , n $\bigwedge_{X \subseteq \{1,\dots,n\}, |X| = k+1} \bigvee_{i \in X} \neg x_i$$\neg \bigwedge_{i \in X} x_i$$X$$\{1,\dots,n\}$ukuran k + 1. Yaitu, kami memastikan bahwa tidak ada cara lebih dari variabel k dapat diatur. Perhatikan bahwa ini bukan ukuran polinomial dalam $k$

Beberapa tautan ke makalah tentang terjemahan kendala kardinalitas yang lebih hemat ruang yang berukuran polinomial dalam $k$ :

• Menerjemahkan Batasan Pseudo-Boolean ke dalam SAT - Niklas Eén dan Niklas Sörensson, JSAT vol 2 (2006), hal 1-26 (survei yang baik).
• Pengkodean CNF yang efisien dari batasan kardinalitas Boolean - Olivier Bailleux dan Yacine Boufkhad, Prosiding Prinsip dan Praktek Pemrograman Kendala 2003, LNCS vol 2833, hal 108-122 (terjemahan yang bagus, cukup mudah untuk diterapkan).
• Menuju Penyandian CNF yang Optimal dari Kendala Kardinalitas Boolean - Carsten Sinz - Prosiding Prinsip dan Praktek Pemrograman Kendala 2005, LNCS 3709, hal 827-831.
• Menuju Penyandian Batasan Cardinalitas CNF yang Kuat - Joao Marques-Silva dan Inês Lynce, Prosiding Prinsip dan Praktek Pemrograman Kendala 2007, LNCS 4741, hal 483-497.

Jika Anda benar-benar tertarik untuk memecahkan masalah seperti itu, mungkin lebih baik memformulasikannya sebagai masalah pseudo-boolean (lihat artikel wiki tentang masalah pseudo-boolean ) dan menggunakan pemecah pseudo-boolean (lihat kompetisi pseudo-boolean ). Dengan cara itu kendala kardinalitas hanyalah kendala pseudo-boolean dan merupakan bagian dari bahasa - semoga pemecah pseudo-boolean kemudian menanganinya secara langsung dan karenanya lebih efisien.

$k$

$\Gamma_{2,1}^{+}$$\Gamma_{2,1}^{+}$

Saya berasumsi Anda sedang mencari pengurangan eksplisit, tetapi jika tidak, Anda selalu bisa kembali ke Teorema Cook-Levin .