Apakah mendeteksi contoh mudah masalah NP-hard mudah?

8

Pertanyaan saya adalah sebagai berikut. Asumsikan bahwa $\Pi$ adalah masalah NP-hard. Diberikan contoh sewenang-wenang $I$ dari $\Pi$ dan berasumsi bahwa musuh tahu bahwa kejadian ini mudah diselesaikan, apakah mungkin untuk menemukan algoritma waktu polinomial deterministik untuk menyelesaikan contoh khusus ini $I$ ?

Misalnya: Misalkan saja $\Pi$ adalah GRAFIK WARNA. Musuh memberi Anda grafik $G$ dengan $n$ sudut.

Musuh tahu itu $G$ selesai tetapi Anda tidak. Dapatkah Anda menemukan algoritma polinomial-waktu yang mengatakan "Grafik ini dapat diwarnai dengan $\Delta +1$ warna "?
Musuh tahu itu $G$ memiliki beberapa properti $P$ tapi kamu tidak. Dapatkah Anda menemukan algoritma polinomial-waktu yang mengatakan "Grafik ini dapat diwarnai dengan $b$ warna "?
...

— Jarbou
sumber

5

Seperti disinggung dalam jawaban DW, masalahnya adalah bahwa tidak ada batasan yang diterapkan

P

$P$ . Sebagai contoh, "

G

$G$ adalah salah satu dari 42 grafik yang kebetulan telah saya hitung, solusi optimal untuk "adalah properti yang valid

P

$P$ . Untuk mencapai tujuan ini, saya pikir Anda perlu membatasi sekumpulan properti yang mungkin

P

$P$ - katakanlah, untuk properti yang dapat diekspresikan dalam beberapa bentuk logika yang terbatas.

— j_random_hacker

17

Masalahnya tidak terlalu baik. Untuk setiap contoh tertentu, ada solusi tunggal, katakanlah $S$ . Akibatnya, kita bisa membayangkan algoritma yang memiliki jawabannya $S$ hardcoded di: tidak peduli input apa yang Anda berikan, yang dilakukannya hanyalah mencetak $S$ . Jawaban ini dihitung sebagai algoritma waktu polinomial deterministik yang memecahkan contoh khusus ini $I$ .

Karena itu, jawaban untuk pertanyaan Anda adalah "Ya", tetapi karena alasan yang tidak menarik. Mungkin saja Anda perlu memikirkan lebih lanjut tentang cara merumuskan pertanyaan untuk mencocokkan dengan apa yang benar-benar ingin Anda ketahui.

Bagian terakhir dari pertanyaan Anda sebenarnya sedikit berbeda. Itu tidak bertanya tentang satu contoh pun $I$ . Sebaliknya, ia bertanya tentang kasus khusus masalah, yaitu, keluarga contoh tak terbatas yang merupakan bagian yang tepat dari semua contoh yang mungkin untuk $\Pi$ . Dalam hal ini, jawabannya adalah "itu tergantung"; beberapa kasus khusus mungkin tetap NP-keras, dan yang lainnya mungkin dalam P.

Akhirnya, saya tidak tahu apa artinya mengatakan "Musuh tahu X tetapi Anda tidak". Saya bebas menulis algoritme yang menganggap X benar dan hanya berfungsi jika X benar. "Pengetahuan" adalah hal yang lucu dan tidak dimodelkan dengan baik oleh jenis alat yang tampaknya Anda bicarakan; teori kompleksitas lebih tentang "keberadaan" daripada "pengetahuan".

— DW
sumber

7

Dalam beberapa hal, jawaban atas pertanyaan Anda adalah afirmatif, karena algoritma pencarian universal Levin. Pertimbangkan untuk mewarnai grafik konkret, dan kelas contoh mudah tertentu. Sebagai saksi bahwa kelas ini mudah, Anda memiliki algoritma yang, mengingat grafik di kelas ini, menghasilkan (dalam waktu polinomial) pewarnaan hukum bersama dengan bukti ukuran polinomial bahwa pewarnaan optimal.

Algoritme pencarian universal Levin menjalankan semua algoritme waktu polinomial (misalnya, ini dicapai dengan mencoba semua batas waktu polinomial yang mungkin untuk setiap algoritme), memeriksa apakah mereka menyediakan pewarnaan yang sah bersama dengan bukti optimalitas. Pada setiap kelas instance mudah, algoritma ini berjalan dalam waktu polinomial. Sayangnya konstanta akan sangat besar, jadi algoritma ini tidak praktis.

— Yuval Filmus
sumber

Perhatikan bahwa pertanyaannya hanya mengatakan itu

Π

$\Pi$ adalah NP -hard, jadi itu tidak dijamin bahwa solusi dapat diverifikasi dalam waktu polinomial.

— David Richerby