Berapa banyak tepi yang bisa dimiliki grafik unipathic?


19

Grafik unipathic adalah grafik terarah sedemikian sehingga ada paling banyak satu jalur sederhana dari satu titik ke titik lainnya.

Grafik unipathic dapat memiliki siklus. Misalnya, daftar yang ditautkan dua kali lipat (bukan yang melingkar!) Adalah grafik unipathic; jika daftar memiliki elemen, grafik memiliki n - 1 siklus dengan panjang 2, dengan total 2 ( n - 1 ) .nn12(n1)

Berapa jumlah maksimum tepi dalam grafik unipathic dengan simpul? Ikatan asimptotik dapat dilakukan (misalnya O ( n ) atau Θ ( n 2 ) ).nO(n)Θ(n2)

Terinspirasi oleh Temukan jalur terpendek dalam grafik unipathic yang ditimbang ; dalam bukti saya , saya awalnya ingin mengklaim bahwa jumlah tepi adalah tetapi kemudian menyadari bahwa membatasi jumlah siklus sudah cukup.O(n)


Pertanyaan yang bagus Kami harus mencoba untuk meningkatkan batas bawah Anda atau batas atas saya :).
RB

Jawaban:


12

Grafik unipathic dapat memiliki tepi. Ada semacam terkenal grafik yang unipathic dan memiliki n 2 / 4 tepi.Θ(n2)n2/4

Pertimbangkan grafik bipartit lengkap, dengan tepi berorientasi . Grafik ini unipathic dan tidak memiliki siklus: semua jalurnya memiliki panjang 1 . Ini memiliki 2 m simpul dan m 2 tepi.(i,j)[1,m]2,aibj12mm2

(Pertanyaan lanjutan: apakah rasio ini maksimal? Mungkin tidak, tapi saya tidak punya contoh lain. Contoh ini maksimal dalam arti bahwa setiap satu tepi yang Anda tambahkan antara node yang ada akan merusak properti unipathic.)


"salah satu sisi yang Anda tambahkan antara node yang ada akan merusak properti unipathic" Bagaimana cara menambahkan tepi menghancurkan properti? b1a1
mitchus

@mitchus a2b1a1b2
Gilles 'SO- stop being evil'

1
Saya kira pikiran saya entah bagaimana tidak ramah pada hari itu :) Sedangkan untuk maksimalitas, rasionya mungkin menjadi 1/4 untuk besar , tetapi untuk n { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } daftar yang ditautkan ganda memiliki lebih banyak tepi daripada n 2 / 4 . nn{2,3,4,5,6}n2/4
mitchus

0

Saya tidak tahu apakah ada grafik unipathic di lebih dari tepi, tapi inilah argumen yang menunjukkan bahwa tidak lebih darin2n24tepi dimungkinkan:n22+3

Asumsikan dengan kontradiksi bahwa adalah grafik unipathic sehingga | E | n 2G=(V,E).|E|n22+3

Dengan prinsip pigeonhole, ada sedemikian rupa sehingga d dalam ( v ) nvV

ddi(v)n2+1

Mendenotasikan U={kamuV(kamu,v)E}

Perhatikan bahwa jika ada simpul sedemikian rupa sehingga u 1u 2U : ( x , u 1 ) , ( x , u 2 ) ExV{v}

kamu1kamu2U:(x,kamu1),(x,kamu2)E

Maka grafik tidak akan unipathic (as dan ( x u 2v ) keduanya jalur yang valid).(xkamu1v)(xkamu2v)

Ini berarti bahwa (menambahkan tepi dari ): | E ( V × U ) | 2 | U |{v}×U

|E(V×U)|2|U|

U

|E|=|E(V×U)|+|E(V×(VU))|
2|U|+n|VU|2(n2+1)+n(n2-1)<n22+3

Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.