Berapa banyak tepi yang bisa dimiliki grafik unipathic?

19

Grafik unipathic adalah grafik terarah sedemikian sehingga ada paling banyak satu jalur sederhana dari satu titik ke titik lainnya.

Grafik unipathic dapat memiliki siklus. Misalnya, daftar yang ditautkan dua kali lipat (bukan yang melingkar!) Adalah grafik unipathic; jika daftar memiliki elemen, grafik memiliki siklus dengan panjang 2, dengan total . $n$ $n-1$ $2(n-1)$

Berapa jumlah maksimum tepi dalam grafik unipathic dengan simpul? Ikatan asimptotik dapat dilakukan (misalnya atau ). $n$ $O(n)$ $\Theta(n^2)$

_{Terinspirasi oleh Temukan jalur terpendek dalam grafik unipathic yang ditimbang ; dalam bukti saya , saya awalnya ingin mengklaim bahwa jumlah tepi adalah tetapi kemudian menyadari bahwa membatasi jumlah siklus sudah cukup. $O(n)$}

graphs combinatorics

— Gilles 'SANGAT berhenti menjadi jahat'
sumber

Pertanyaan yang bagus Kami harus mencoba untuk meningkatkan batas bawah Anda atau batas atas saya :).

— RB

12

Grafik unipathic dapat memiliki tepi. Ada semacam terkenal grafik yang unipathic dan memiliki tepi. $\Theta(n^2)$ $n^2/4$

Pertimbangkan grafik bipartit lengkap, dengan tepi berorientasi . Grafik ini unipathic dan tidak memiliki siklus: semua jalurnya memiliki panjang . Ini memiliki simpul dan tepi. $\forall (i,j) \in [1,m]^2, a_i \rightarrow b_j$ $1$ $2m$ $m^2$

_{(Pertanyaan lanjutan: apakah rasio ini maksimal? Mungkin tidak, tapi saya tidak punya contoh lain. Contoh ini maksimal dalam arti bahwa setiap satu tepi yang Anda tambahkan antara node yang ada akan merusak properti unipathic.)}

— Gilles 'SANGAT berhenti menjadi jahat'
sumber

"salah satu sisi yang Anda tambahkan antara node yang ada akan merusak properti unipathic" Bagaimana cara menambahkan tepi

menghancurkan properti?

b_{1} \to a_{1}

$b_1 \rightarrow a_1$

— mitchus

@mitchus

a_{2} \to b_{1} \to a_{1} \to b_{2}

$a_2 \rightarrow b_1 \rightarrow a_1 \rightarrow b_2$

— Gilles 'SO- stop being evil'

1

Saya kira pikiran saya entah bagaimana tidak ramah pada hari itu :) Sedangkan untuk maksimalitas, rasionya mungkin menjadi 1/4 untuk

besar , tetapi untuk

daftar yang ditautkan ganda memiliki lebih banyak tepi daripada

.

n

$n$

n \in {2, 3, 4, 5, 6}

$n \in \{2,3,4,5,6\}$

n^{2} / 4

$n^2/4$

— mitchus

0

Saya tidak tahu apakah ada grafik unipathic di lebih dari tepi, tapi inilah argumen yang menunjukkan bahwa tidak lebih dari $\frac{n^2}{4}$ tepi dimungkinkan: $\frac{n^2}{2}+3$

Asumsikan dengan kontradiksi bahwa adalah grafik unipathic sehingga $G=(V,E)$ . $|E|\geq \frac{n^2}{2}+3$

Dengan prinsip pigeonhole, ada sedemikian rupa sehingga $v\in V$

d_{di} (v) \geq \frac{n}{2} + 1

$d_{\text{in}}(v)\geq \frac{n}{2}+1$

Mendenotasikan $U=\{u\in V\mid (u,v)\in E\}$

Perhatikan bahwa jika ada simpul sedemikian rupa sehingga $x\in V\setminus \{v\}$

\exists {kamu}_{1} \neq {kamu}_{2} \in U : (x, {kamu}_{1}), (x, {kamu}_{2}) \in E

$\exists u_1\neq u_2\in U:(x,u_1),(x,u_2)\in E$

Maka grafik tidak akan unipathic (as dan keduanya jalur yang valid). $(x\to u_1\to v)$ $(x\to u_2\to v)$

Ini berarti bahwa (menambahkan tepi dari ): $\{v\}\times U$

| E \cap (V \times U) | \leq 2 | U |

$|E\cap (V\times U)|\leq2|U|$

$U$

| E | = | E \cap (V \times U) | + | E \cap (V \times (V ∖ U)) |

$|E|=|E\cap (V\times U)|+|E\cap (V\times (V\setminus U))|$

\leq 2 | U | + n | V ∖ U | \leq 2 (\frac{n}{2} + 1) + n (\frac{n}{2} - 1) < \frac{n^{2}}{2} + 3

$\leq 2|U|+n|V\setminus U|\leq 2(\frac{n}{2}+1)+n(\frac{n}{2}-1)<\frac{n^2}{2}+3$

$\square$

— BPR
sumber