Apa itu super universe?

Saya membaca makalah terkenal ini On Universes in Type Theory . Awalnya saya mengharapkan sesuatu yang mirip Setωdi Agda, tetapi ternyata itu bahkan sesuatu yang lebih umum. Tampaknya untuk menggeneralisasi konstruksi alam semesta dari jenis induktif-rekursif polos menjadi pengikat (mirip dengan dan Σ ). Pertanyaan utama yang ingin saya tanyakan adalah, apa niat di baliknya?$\Pi$$\Sigma$

Berikut ini beberapa kode Idris yang mendefinisikan semesta gaya Tarski yang biasa:

mutual

  public export data U : (level : Nat) -> Type where
    GroundU : Ground -> U level
    BinderU : Binder -> (a : U level) -> (b : (x : T {level} a) -> U level) -> U level
    UnivU   : U (S level)
    LiftU   : U level -> U (S level)

  public export T : {level : Nat} -> (code : U level) -> Type

Saya mencoba menggeneralisasikannya menjadi sesuatu seperti

mutual

  public export data U : (a : Type) -> (b : (x : a) -> Type) -> Type where
    GroundU : Ground -> U a ???
    ...

Apa yang seharusnya ???? Penulis makalah ini hanya mengatakan alam semesta harus ditutup di bawah pembentuk yang ditetapkan.

sunting: Saya kira ???hanya b...

Salah satu niat di balik memiliki operator semesta dan super-semesta ditutup di bawahnya, adalah untuk memberikan versi-teori tipe aksioma kardinal besar yang dikenal dari teori himpunan. Sebuah kardinal tidak dapat diakses adalah seperti alam semesta jenis-teori. Jenis kardinal yang menarik berikutnya adalah kardinal Mahlo . Berbicara secara intuitif, kardinal Mahlo adalah kardinal yang memiliki "banyak" kardinal yang tidak dapat diakses di bawahnya. Apa ini dalam istilah tipe-teoretis? Seharusnya menjadi semacam alam semesta dengan banyak dan banyak alam semesta di dalamnya. Inilah yang ditanggapi Palmgren ketika dia mempertimbangkan super-universes.$U$

Ada juga sisi yang lebih praktis untuk memiliki banyak alam semesta. Adalah berguna untuk memiliki tipe-tipe induktif-rekursif dalam teori tipe, untuk segala macam tujuan. Tetapi mereka membiarkan kita mendefinisikan alam semesta baru, jadi pertanyaannya adalah berapa banyak ? Untuk memahami apa yang dilakukan Palmgren, alih-alih memotret untuk super-universe segera, coba urutan konstruksi berikut di Agda (menggunakan rekursi induksi):

1. Tetapkan satu semesta , yang berisi (kode) N dan ditutup di bawah Π dan Σ . Semesta jenis ini sesuai dengan kardinal yang tidak dapat diakses .$U_0$$\mathbb{N}$$\Pi$$\Sigma$

2. Tentukan operator yang menggunakan tipe A apa pun dan tentukan alam semesta yang berisi (kode) A dan ditutup dengan Π dan Σ . Operator alam semesta semacam ini mirip dengan aksioma Grothendieck tentang alam semesta . Berapa banyak alam semesta yang bisa kita dapatkan dengan menerapkan U berulang kali , mulai dari N ?$U$$A$$A$$\Pi$$\Sigma$$U$$\mathbb{N}$

3. Untuk mendapatkan lebih banyak alam semesta, kami mendalilkan sebuah super-universe yang berisi banyak alam semesta, sebagai berikut:$V$

   • berisi N , dan ditutup di bawah Π dan$V$$\mathbb{N}$$\Pi$$\Sigma$
   • Diberikan (kode) tipe dan keluarga B : A → V , ada semesta U , yang merupakan elemen dari V , itu berisi semua jenis keluarga B , dan ditutup di bawah Π dan Σ .$A : V$$B : A \to V$$U$$V$$B$$\Pi$$\Sigma$

   Berapa banyak alam semesta yang dikandung ? Perhatikan bahwa kita bisa mendapatkan keluarga B : N → V sedemikian rupa sehingga B ( n ) adalah alam semesta ke- n , dan karenanya V harus berisi semesta U ω yang berisi semua ini. Dan ini baru permulaan!$V$$B : \mathbb{N} \to V$$B(n)$$n$$V$$U_\omega$