Apakah masalah k-klik NP-complete?

Dalam artikel Wikipedia ini tentang masalah Clique dalam teori graph, ia menyatakan di awal bahwa masalah menemukan klik ukuran K, dalam grafik G adalah NP-complete:

Klik juga telah dipelajari dalam ilmu komputer: menemukan apakah ada klik ukuran yang diberikan dalam grafik (masalah klik) adalah NP-lengkap, tetapi meskipun ini hasil kekerasan banyak algoritma untuk menemukan klik telah dipelajari.

Tetapi dalam artikel Wikipedia lainnya tentang masalah Clique di CS dikatakannya menyelesaikan masalah karena ukuran tetap k adalah masalah di P, bisa jadi kekerasan di masa polinomial.

Algoritma brute force untuk menguji apakah grafik G berisi k-vertex clique, dan untuk menemukan klik yang dikandungnya, adalah untuk memeriksa setiap subgraph dengan setidaknya k simpul dan memeriksa untuk melihat apakah itu membentuk klik. Algoritma ini membutuhkan waktu O (n ^ kk ^ 2): ada subgraph O (n ^ k) untuk diperiksa, yang masing-masing memiliki O (k ^ 2) tepi yang keberadaannya dalam G perlu diperiksa. Dengan demikian, masalah dapat diselesaikan dalam waktu polinomial setiap kali k adalah konstanta tetap. Ketika k adalah bagian dari input ke masalah, waktu adalah eksponensial.

Apakah ada sesuatu yang saya lewatkan di sini? Mungkin perbedaan dalam kata-kata masalah? Dan apa arti kalimat terakhir, bahwa "Ketika k adalah bagian dari input untuk masalah, bagaimanapun, waktunya eksponensial."? Mengapa ada perbedaan ketika k merupakan bagian dari input untuk masalah?

Ide saya adalah untuk menemukan klik ukuran k dalam grafik G, adalah bahwa kita pertama-tama memilih subset ukuran k dari node dari G, dan menguji apakah mereka semua terkait dengan node k lainnya, yang dapat dilakukan dalam konstanta waktu. Dan ulangi ini sampai kita memiliki klik ukuran k. Jumlah set k node yang dapat kita pilih dari G adalah n! / k! * (nk) !.

— Raphael
sumber

Kelengkapan NP suatu masalah tergantung pada apa yang Anda anggap sebagai input. Karena masalah ada di jika ada algoritma polinomial untuk memutuskannya. Jika adalah konstanta (bukan input), algoritmanya polinomial dalam . Jika adalah bagian dari input, maka algoritmanya eksponensial dalam .

P

$\mathcal{P}$

K

$K$

n

$n$

k

$k$

k

$k$

Hanya menguraikan apa yang ditunjukkan @Lamine: Ketika adalah bagian dari input, dapat sebesar $k$ $k$ , dalam hal jumlah potensi klik setyang setidaknya. Karenanya algoritma naif Anda akan membutuhkan waktuyang jelas eksponensial dalam panjang input. Versi parameterizedmana kita mencari-cliques dalamgrafik-vertex menangkap kekerasan masalah dalam bentuk yang paling umum karenaadalah bagian dari input. Karenanya algoritma poli-waktu untukjuga akan menyiratkan algoritma poli-waktu untuk setiaptertentu. $\frac{n}{2}$ $\binom{n}{\frac{n}{2}}$ $\left( \frac{n}{\frac{n}{2}} \right)^{\frac{n}{2}}$ $2^{\frac{n}{2}}$ $|x|+|k|=n+\log n$ $G(n,k)$ $k$ $n$ $k$ $G(n,k)$ $k$

— Sajin Koroth
sumber