Pengkodean tipe rekursif pada Sistem F (dan sistem tipe murni lainnya)

Saya sedang mempelajari sistem tipe murni, khususnya kalkulus konstruksi, dan mencoba menggunakan pengkodean untuk tipe rekursif di atasnya, yang, menurut Philip Wadler, adalah mungkin . Sebagai contoh, saya menggunakan perpustakaan Morte Haskell untuk menyandikan angka Scott seperti yang diberikan oleh Cardelli .

Ringkasan pengkodean adalah seperti itu: diberi jenis rekursif (positif) ...

μ X . F X

$\mu X.F\ X$

... kita dapat menyandikannya sebagai tipe pada Sistem F sebagai ...

L f i x X . F X = Λ X . (F X \to X) \to X

$Lfix\ X.F\ X\ =\ \Lambda X.(F\ X\rightarrow X)\rightarrow X$

... atau, menggunakan notasi sistem tipe murni (dengan eksplisit ) ... $F$

L f i x = Π F : * \to * . Π X : * . (F X \to X) \to X

$Lfix\ =\ \Pi F: *\rightarrow*.\Pi X: *.(F\ X\rightarrow X)\rightarrow X$

... karena adalah konstruktor tipe ( adalah tipe tipe). $F$ $*$

Untuk mengkodekan seperti itu, kita perlu mendeklarasikan tiga fungsi, , dan , menurut Wadler, dan digunakan oleh Cardelli pada pengkodean untuk angka Scott. $fold$ $in$ $out$

lipat: Semua X. (FX -> X) -> T -> X

lipat = \ X. \ k: FX -> X. \ t: T. t X k

di: FT -> T

dalam = \ s: F T. \ X. \ k: FX -> X. k (F (lipat X k) s).

(Di mana adalah ) $T$ $Lfix\ X. F\ X$

Itu sepele untuk menulis fungsi seperti yang diberikan. Tetapi ketika mencoba untuk menulis fungsi , sepertinya tidak mengetik centang. Ekspresi memiliki tipe , dan harus dari jenis . Kemudian kita menyimpulkan bahwa harus bertipe (terlihat seperti a ). Ini bukan typecheck, karena merupakan konstruktor tipe (bertipe ). $fold$ $in$ $(fold\ X\ k)$ $T\rightarrow X$ $(F\ (fold\ X\ k)\ s)$ $F\ X$ $F$ $(T\rightarrow X)\rightarrow F\ T\rightarrow F\ X$ fmapF $*\rightarrow*$

Ini tidak terlihat seperti kesalahan ketik ... apakah saya melewatkan sesuatu?

lambda-calculus type-theory

— paulotorrens
sumber

Ada konvensi dalam teori kategori bahwa simbol yang sama digunakan untuk konstruktor tipe dan fungsi peta di atas konstruktor tipe tersebut. Karenanya, jika f: X -> Y maka F f: FX -> F Y.

— Philip Wadler
sumber

Jadi itu memang fmap! Saya mendapat nol pengalaman pada teori kategori, tetapi saya benar-benar menemukan bahwa sekitar 10 menit yang lalu pada "Catatan tentang Datatypes Kategorikal" (GC Wralth). Saya sekarang bisa menulis fungsi yang benar, bekerja seperti pesona. Terima kasih banyak, dr. Wadler! : D

— paulotorrens