Menemukan urutan pertanyaan yang optimal untuk meminimalkan total waktu siswa

Misalkan ada sesi tutorial di universitas. Kami memiliki serangkaian pertanyaan dan satu set siswa . Setiap siswa memiliki keraguan dalam subset pertanyaan tertentu, yaitu untuk setiap siswa , biarkan menjadi set pertanyaan yang siswa ragukan. Asumsikan bahwa \ forall 1 \ leq j \ leq n: Q_j \ neq \ phi dan \ bigcup_ {1 \ leq j \ leq n} Q_j = Q .$k$$Q = \{ q_1 \ldots q_k \}$$n$$S = \{ s_1 \ldots s_n \}$$s_j$$Q_j \subseteq Q$$\forall 1 \leq j \leq n: Q_j \neq \phi$$\bigcup_{1\leq j\leq n}Q_j = Q$

Semua siswa memasuki sesi tutorial di awal (di $t = 0$ ). Sekarang, seorang siswa meninggalkan sesi tutorial segera setelah semua pertanyaan di mana ia memiliki keraguan telah dibahas. Misalkan waktu yang dibutuhkan untuk membahas setiap pertanyaan sama, katakan 1 unit $^*$ . Biarkan $t_j$ menjadi waktu yang dihabiskan oleh $s_j$ di sesi tutorial. Kami ingin mengetahui permutasi yang optimal $\sigma$ di mana pertanyaan dibahas $(q_{\sigma(1)} \ldots q_{\sigma(n)})$ seperti kuantitas $T_\sigma = \Sigma_{1\leq j \leq n}t_j$ diminimalkan.

Saya belum bisa mendesain algoritma waktu polinomial, atau membuktikan $\mathsf{NP}$ -newness.

Kita dapat mendefinisikan versi keputusan dari masalah

di mana $\mathcal{F}_Q$ adalah himpunan $Q_j$ .

Kita kemudian dapat mengetahui T_ \ sigma minimum $T_\sigma$menggunakan pencarian biner pada $C$ dan menemukan \ sigma optimal $\sigma$menggunakan penugasan sebagian untuk $\sigma$ dalam waktu polinomial menggunakan oracle untuk $\mathsf{TUT}$ . Juga, $\mathsf{TUT} \in \mathsf{NP}$ karena \ sigma optimal $\sigma$dapat digunakan sebagai sertifikat yang dapat kita verifikasi dengan mudah dalam waktu polinomial.

Pertanyaan saya: Apakah -lengkapi atau bisakah kita merancang algoritma waktu polinomial untuk itu?N $\mathsf{TUT}$ $\mathsf{NP}$

Sidenote: Ngomong-ngomong, saya memikirkan pertanyaan ini setelah sesi tutorial yang sebenarnya, di mana TA membahas pertanyaan dalam urutan normal karena itu banyak siswa harus menunggu sampai akhir.$q_1 \ldots q_n$

Contoh
Misalkan dan . dan . Kita dapat melihat bahwa yang optimal karena dalam kasus itu, meninggalkan setelah dan meninggalkan setelah , jadi jumlahnya adalah 4. Namun, jika kita membahas pertanyaan dalam urutan , lalu dan keduanya harus menunggu sampai akhir dan , jadi jumlahnya 6.n = 2 Q 1 = { q 3 } Q 2 = { q 1 , q 2 , q 3 } σ = ⟨ 3 , 1 , 2 ⟩ s 1 t 1 = 1 s 2 t 2 = 3 ⟨ 1 , 2 , 3 ⟩ s 1 s 2 t 1$k=3$$n=2$$Q_1 = \{q_3\}$$Q_2 = \{q_1, q_2, q_3\}$$\sigma = \langle 3, 1, 2 \rangle$$s_1$$t_1 = 1$$s_2$$t_2 = 3$
$\langle 1, 2, 3\rangle$$s_1$$s_2$$t_1 = t_2 = 3$

$^*$ Anda bebas untuk menyelesaikan kasus yang lebih umum di mana setiap pertanyaan membutuhkan unit untuk didiskusikan!$q_i$$x_i$

Saya menduga masalah menjadi NP-keras. Saya akan menunjukkan cara mengubah masalah sehingga sangat terkait dengan masalah yang NP-keras. (Ya, ini semua agak kabur. Pada dasarnya saya pikir pendekatan umum saya benar, tetapi saat ini saya tidak dapat melanjutkan.)$\mathsf{TUT}$

Pertama, catatan bahwa masalah dapat dirumuskan sebagai berikut:$\mathsf{TUT}$

Mengingat satu set pertanyaan ukuran k , satu set n himpunan bagian F Q ⊆ P ( Q ) dan integer C , tidak terdapat urutan Σ : ⟨ S 1 , ... , S k ⟩ seperti itu, untuk semua i ∈ { 1 , ... , k } :$Q$$k$$n$$\mathcal{F}_Q\subseteq \mathcal{P}(Q)$$C$$\Sigma : \langle S_1,\ldots, S_k\rangle$$i \in\{1,\ldots,k\}$

1. dan | S i | = i ; dan$S_i\subseteq Q$$|S_i|=i$
2. untuk semua j > i ; dan$S_i \subset S_j$$j>i$
3. ?$\sum_{i=1}^k |\{q\in\mathcal{F}_Q\mid q\not\subseteq S_i\}| \leq C$

Perhatikan bahwa himpunan mewakili pertanyaan i pertama yang akan dijelaskan. Kondisi 1 dan 2 memastikan bahwa himpunan bagian terbentuk dengan baik sesuai dengan interpretasi ini. Kondisi 3 menghitung jumlah siswa yang tidak pergi setiap saat, jadi itu benar-benar jumlah total waktu tunggu di antara semua siswa.$S_i$$i$

Sekarang, kita membatasi ukuran subset di ke 2 , sehingga kita dapat mewakili himpunan bagian ini sebagai tepi pada grafik di mana simpul adalah elemen dari Q . (Hasil kekerasan untuk kasus khusus ini cukup untuk kekerasan masalah umum)$\mathcal{F}_Q$$2$$Q$

Sekarang, masalah meminimalkan untuk i tunggal (ini pada dasarnya mengabaikan kondisi 2) setara dengan masalah berikut, yang saya beri nama ' Double max  k -vertex-cover ':$|\{q\in\mathcal{F}_Q\mid q\not\subseteq S_i\}|$$i$$\mathsf{\text{Double max $k$-vertex-cover}}$

Diberikan grafik tak berarah dan bilangan bulat k dan t , apakah ada sekumpulan simpul V ′ ⊆ V dengan ukuran paling banyak k sehingga himpunan { ( u , v ) ∈ E ∣ u ∈ V ′ ∧ v ∈ V ′ } memiliki ukuran setidaknya t ?$G=(V,E)$$k$$t$$V'\subseteq V$$k$$\{(u,v)\in E\mid u\in V' \wedge v \in V' \}$$t$

Masalah ini NP-hard, karena -clique adalah kasus khusus dari masalah ini, seperti yang ditunjukkan oleh jawaban ini . Namun, ini tidak cukup untuk membuktikan T U T menjadi NP-keras, karena kita perlu menemukan maksimum untuk setiap i , sementara menghormati kondisi 2. kondisi ini tidak puas dengan setiap urutan Σ yang memenuhi satunya syarat 1 dan 3: pertimbangkan grafik pada 7 simpul dengan dua siklus terpisah, satu ukuran 4 , ukuran lain 3 . Untuk i = 3 , memilih semua simpul dalam 3- cycle memberikan maksimum, sambil memilih semua simpul dari $k$$\mathsf{TUT}$$i$$\Sigma$$7$$4$$3$$i=3$$3$$4$-putaran optimal untuk .$i=4$

Tampaknya kondisi 2 membuat masalah lebih sulit dan tentu saja tidak lebih mudah, yang berarti harus NP-keras, tetapi saya belum melihat metode untuk membuktikan ini secara resmi.$\mathsf{TUT}$

Jadi, untuk meringkas, saya telah mengurangi pertanyaan sebagai berikut:

• Apakah mungkin untuk memasukkan kondisi 2 untuk melengkapi bukti kekerasan untuk ?$\mathsf{TUT}$

Catatan: Formulasi yang saya berikan membuatnya tergoda untuk mencoba algoritma berulang yang menemukan dalam kondisi 2 dari i = 1 ... k , dengan menemukan semua 'penambahan' maksimum dari semua set maksimum yang ditemukan untuk i - 1 . Ini tidak mengarah pada algoritma yang efisien, karena jumlah set maksimum pada satu iterasi tunggal mungkin eksponensial dalam k . Selain itu, saya belum melihat metode untuk menentukan apakah subset untuk beberapa $|\{q\in\mathcal{F}_Q\mid q\not\subseteq S_i\}|$$i=1\ldots k$$i-1$$k$$i$ pada akhirnya akan menjadi 'global' maksimum untuk mencegah pengecekan jumlah himpunan bagian eksponensial.