Pengurangan DAG secara transitif

13

Saya mencari algoritma O (V + E) untuk menemukan reduksi transitif yang diberikan DAG.

Yaitu menghapus sebanyak mungkin tepi sehingga jika Anda dapat mencapai v dari Anda, untuk v dan Anda sewenang-wenang, Anda masih dapat mencapai setelah menghilangkan tepi.

Jika ini adalah masalah standar, tunjukkan saya solusi model.

algorithms graphs dag

— Karan
sumber

Anda tidak dapat menggunakan referensi yang diberikan dalam lemma wikipedia yang Anda kutip?

— Hendrik Jan

2

Nah, algoritma yang dibahas dalam Wikipedia berjalan di

(dalam kasus terbaik, yaitu, dalam kasus grafik asiklik) alih-alih seperti yang diminta. Saya pikir jawaban yang tepat di sini adalah bahwa algoritma yang Anda cari saat ini mungkin tidak ada

O (V \times E)

$O(V\times E)$

O (V + E)

$O(V+E)$

— Carlos Linares López

1

Setuju bahwa tidak jelas apa yang Anda minta ada. Ada beberapa makalah yang tidak akan menarik jika ada algoritma seperti itu, misalnya, sciencedirect.com/science/article/pii/0012365X9390164O . Yang mengatakan, jika Anda dapat lebih spesifik tentang apa motivasi Anda, mungkin ada solusi yang lebih spesifik. Misalnya, apakah Anda tahu hal lain tentang grafik atau apakah

berfungsi?

O (n (n + m))

$O(n(n+m))$

— William Macrae

Saya melihat masalah di suatu tempat, tetapi tidak ada informasi tambahan, mungkin salah ketik.

— Karan

1

Bagaimana jika Anda melakukan pengurutan topologi dalam DAG Anda, tetapi tetap melacak simpul yang dapat dijangkau dengan menggunakan anak-anak, yaitu

r e a c h a b l e [v] = \cup_{v^{'} \in c h i l d r e n_{v}} r e a c h a b l e [v^{'}]

$reachable[v] = \cup_{v' \in children_v} reachable[v']$ , kemudian mulai dari item terbaru dalam grafik yang diurutkan, dan hapus tepi yang tidak digunakan dan naik dengan mempertahankan fungsi yang dapat dijangkau, ini memberi Anda tepi maksimal yang mungkin untuk dihapus, tapi saya tidak yakin apakah itu mendapatkan kemungkinan maksimal (itu

.

O (| E | + | V |)

$O(|E|+|V|)$

8

Kita dapat menyelesaikan masalah ini hanya dengan melakukan DFS dari setiap titik.

Untuk setiap simpul , mulai DFS dari setiap simpul sehingga adalah turunan langsung dari , yaitu. adalah keunggulan. $u \in G$ $v$ $v$ $u$ $(u,v)$
Untuk setiap simpul dapat dijangkau oleh DFS dari , lepaskan ujungnya . $v'$ $v$ $(u, v')$

Kompleksitas keseluruhan di atas adalah kompleksitas menjalankan DFS ', yaitu . $N$ $O(N(N+M))$

— pratyaksh
sumber

1

Perhatikan bahwa, asimptotik, ini memiliki kompleksitas yang sama dengan algoritma

dalam artikel Wikipedia yang ditautkan dalam pertanyaan itu sendiri.

O (N M)

$O(NM)$

— David Richerby

1

Sepakat. Karena jawaban singkat diberikan untuk pertanyaan ini, saya telah memberikan satu. Lebih lanjut, solusi

adalah IMO, tidak mungkin.

O (N)

$O(N)$

— pratyaksh

3

Bukan yang Anda cari. Tetapi hanya untuk tujuan berbagi pengetahuan, Anda dapat melakukannya dengan pesan jika Anda menganggap bahwa setiap titik bertindak sebagai prosesor . Perhatikan bahwa setiap titik memiliki nilai yang sebanding. Oleh karena itu, ada beberapa simpul sehingga mereka lebih besar dari semua tetangga mereka. Verteks ini melakukan hal berikut: $O(|E|)$

Biarkan menjadi tetangga maksimum yang lebih kecil dari , $u$ $v$
mengirim pesan ke dan menyertakan edge dalam output. $u$ $(v,u)$
Untuk setiap tetangga dari dan (dan lebih kecil dari keduanya), jangan masukkan dalam output. $w$ $u$ $v$ $(v,w)$
Ulangi langkah-langkah sampai semua tepi untuk tetangga yang lebih kecil dari vertex dimasukkan atau tidak termasuk dalam output. $(v,v')$ $v'$ $v$

Sekarang jika sebuah simpul menerima pesan dari setiap tetangga yang lebih besar (yaitu semua tepi termasuk atau tidak termasuk, maka simpul bertindak seolah-olah itu adalah yang terbesar di lingkungannya. Yaitu, ia melakukan 4 langkah yang disebutkan sebelumnya. $v$ $(v',v)$ $v$

Algoritma ini berakhir pada pesan di lingkungan terdistribusi. Saya tahu ini bukan yang Anda minta. $O(|E|)$

— Dipotong
sumber

1

Lemma: Jika ada tepi V -> Y dan Y juga merupakan penerus tidak langsung dari V, (misalnya, V -> W -> + Y) maka tepi V -> Y adalah transitif dan bukan bagian dari akar transitif.

Metode: Melacak penutupan transitif dari setiap simpul, bekerja dari terminal ke simpul awal dalam urutan topologi terbalik. Himpunan penerus tidak langsung dari V adalah penyatuan dari penutupan transitif dari penerus langsung dari V. Penutupan transitif dari V adalah penyatuan dari penerus tidak langsung dan penerus langsungnya.

Algoritma:

    Initialise Visited as the empty set.
    For each vertex V of G, 
        Invoke Visit(V).

    Visit(V):
        If V is not in Visited,
            Add V to Visited, 
            Initialise Indirect as the empty set,
            For each edge V -> W in G,
                Invoke Visit(W),
                Add Closure(W) to Indirect.
            Set Closure(V) to Indirect.
            For each edge V -> W in G,
                Add W to Closure(V),
                If W is in the set Indirect,
                    Delete the edge V -> W from G.

Ini mengasumsikan bahwa Anda memiliki beberapa cara yang efisien untuk melacak set simpul (misalnya, peta bit), tetapi saya pikir asumsi ini dibuat dalam algoritma O (V + E) lainnya juga.

Efek samping yang berpotensi berguna adalah ia menemukan penutupan transitif dari setiap simpul G.

— DrBD
sumber

Saya telah menghapus jawaban yang diposting di akun Anda sebelumnya. Jika Anda masih ingin menggabungkan dua akun Anda, silakan ikuti langkah-langkah di pusat bantuan . Yang sedang berkata, karena akun sebelumnya tidak lagi memiliki konten yang terlihat, Anda bisa tetap berpegang pada yang baru.

— Gilles 'SANGAT berhenti menjadi jahat'

0

Saya memecahkan masalah yang sama tetapi itu tidak persis sama. Ia meminta minimum tidak ada tepi dalam grafik setelah pengurangan sedemikian rupa sehingga simpul yang awalnya terhubung masih terhubung dan tidak ada koneksi baru dibuat. Karena jelas, ia tidak mengatakan untuk menemukan grafik yang diperkecil, tetapi berapa banyak tepi redundan yang ada. Masalah ini dapat diselesaikan di O (V + E). Tautan ke penjelasan adalah https://codeforces.com/blog/entry/56326 . Tapi saya pikir untuk membuat grafik sebenarnya, itu akan memiliki kompleksitas tinggi daripada O (N)

— Kumar Mohit
sumber