Bagaimana memahami pengurangan dari masalah 3-Warna menjadi umum

Masalah 3-Warna dapat dibuktikan NP-Complete memanfaatkan pengurangan dari 3SAT Graph Coloring (dari 3SAT) . Sebagai akibatnya, masalah 4-Warna adalah NP-Lengkap menggunakan pengurangan dari 3-Warna:

Reduksi dari instance 3-Coloring: menambahkan simpul tambahan ke grafik masalah 3-Coloring, dan membuatnya berdekatan dengan semua simpul asli.

Mengikuti alasan yang sama, masalah 5-Coloring, 6-Coloring, dan bahkan -Coloring umum dapat dibuktikan NP-Complete dengan mudah. Namun, masalah saya muncul dengan induksi matematika yang mendasarinya:$k$

Masalah Saya: Bagaimana jika induksi berlanjut ke masalah -Coloring dan -Coloring, di mana adalah jumlah simpul dalam grafik? Saya tentu tahu bahwa masalah -Coloring dapat diselesaikan dengan mudah. Jadi, adakah yang salah dengan alasannya? Bagaimana memahami pengurangan dari 3-Mewarnai masalah untuk umum -coloring satu?$n-1$$n$$n$$n$$k$

Masalah -coloring biasanya didefinisikan hanya untuk konstan , sehingga -coloring tidak masuk akal. Untuk setiap konstanta , reduksi yang Anda sebutkan berfungsi. Dengan menambahkan jumlah titik superkontinyan, Anda dapat menunjukkan, misalnya, bahwa -warna adalah NP-complete.$k$$k$$n$$k \geq 3$$(n/2+3)$

Kontradiksi Anda yang jelas berasal dari menyalahgunakan notasi " ": artinya berubah saat Anda menelusuri pertanyaan.$n$

Ketika Anda mengatakan bahwa -warna adalah sepele, yang Anda maksud sebenarnya adalah sepele untuk mewarnai setiap grafik  denganwarna. Tetapi masalah -warna untuk konstanta adalah masalah menentukan apakah grafik input sewenang-wenang, dengan sejumlah simpul, memiliki pewarnaan yang tepat .$n$$G$$|V(G)|$$n$ $n$$n$

Rantai reduksi dari -warna hingga -warna menambah simpul pada grafik. Ini berarti bahwa satu-satunya cara Anda bisa berakhir dengan contoh sepele dari masalah -warna adalah jika input asli Anda ke masalah warna memiliki  atau lebih sedikit simpul - contoh seperti itu sudah sepele warna.$3$$n$$n-3$$n$$3$$3$$3$

Ngomong-ngomong, tidak perlu menggunakan induksi untuk membuktikan bahwa -warna adalah NP- lengkap untuk setiap  karena mudah untuk menyusun urutan reduksi yang akan muncul dalam induksi. Grafik  adalah -warna jika, dan hanya jika, grafik  adalah -warna, di mana adalah gabungan disjoint dari dan salinan  , ditambah semua kemungkinan tepi antara dua bagian .$k$$k\geq 3$$G$$3$$G'$$k$$G'$$G$$K_{k-3}$

Itu $k$Masalah -warna adalah untuk mewarnai setiap grafik. Anda tentu dapat menemukan grafik yang mana$k$-warna adalah sepele dan juga formula yang sepele atau lain-lain. Ini tidak mempengaruhi kompleksitas masalah secara umum.