Rantai tak terbatas besar

Pertama, izinkan saya menulis definisi big $O$ hanya untuk membuat semuanya eksplisit.

$f(n)\in O(g(n))\iff \exists c, n_0\gt 0$ sehingga $0\le f(n)\le cg(n), \forall n\ge n_0$

Katakanlah kita memiliki sejumlah fungsi terbatas: $f_1,f_2,\dots f_n$ memuaskan:

$O(f_1)\subseteq O(f_2)\dots \subseteq O(f_n)$

Dengan transitivitas $O$ , kita memiliki itu: $O(f_1)\subseteq O(f_n)$

Apakah terus ini jika kita memiliki rantai tak terbatas $O's$ ? Dengan kata lain, apakah $O(f_1) \subseteq O(f_\infty)$ ?

Saya kesulitan membayangkan apa yang terjadi.

asymptotics landau-notation

— saadtaame
sumber

Jawaban:

Pertama-tama kita perlu mengklarifikasi apa yang kita maksud dengan "apakah ini berlaku jika kita memiliki rantai tak terbatas?". Kami menafsirkannya sebagai urutan fungsi tak terbatas sedemikian rupa sehingga untuk semua kita memiliki . Urutan seperti itu mungkin tidak memiliki fungsi terakhir. $\{f_i:\mathbb{N}\to\mathbb{N} \mid 1\leq i\}$ $i$ $f_i(n) = O(f_{i+1}(n))$

$f_\infty(n) = \lim_{i\to \infty} f_i(n)$ $f_1(n) = O(f_\infty(n))$ $f_i(n) = \frac{n}{i}$ $i$ $f_i(n)=\Theta(n)$ $f_i(n) = O(f_{i+1}(n))$ $f_\infty(n)=\lim_{i\to\infty}f_i(n)=0=\Theta(1)$ $f_1(n) \neq O(f_\infty(n))$

Di sisi lain kita dapat melihat batas urutan kelas yang tidak perlu sama dengan kelas batas fungsi . Kami memiliki , oleh karena itu dan untuk semua . Batas atasan berisi semua elemen (fungsi dalam kasus ini) yang sering terjadi tanpa batas dan batas inferior berisi semua elemen yang terjadi di semua untuk beberapa $f_i \in \mathcal O(f_{i+1})$ $\mathcal O(f_i) \subseteq \mathcal O(f_{i+1})$ $f_j \in \lim_{i\rightarrow\infty} \mathcal O(f_i) = \limsup_{i\rightarrow\infty} \mathcal O(f_i) = \liminf_{i\rightarrow\infty} \mathcal O(f_i) = \bigcup_{n \in \mathbb{N}}\bigcap_{k>n}\mathcal O(f_k)$ $j$ $\mathcal O(f_i), i \ge n_0$ $n_0$ (yang mungkin tergantung pada elemen). Karena urutan kelas meningkat secara monoton keduanya ada dan mereka sama. Ini membenarkan penggunaan . $\lim$

— frafl
sumber

Ada dua seri: satu fungsi (yang dapat menyatu atau tidak) dan satu set (di mana setiap set adalah super set dari yang sebelumnya; inilah mengapa seri ini menyatu-lihat definisi lim inf dan lim sup untuk set) . Bagian pertama menjawab pertanyaan tanpa bagian , bagian kedua menjawab bagian negatif (jika adalah semacam limau).

f_{\infty}

$f_\infty$

f_{\infty}

$f_\infty$

f_{\infty}

$f_\infty$

— frafl

Bagaimana jika jumlah istilah tidak terhitung? :)

— SamM

Menggunakan beberapa pemesanan yang baik atau Anda ingin mengganti seri dengan sesuatu yang lebih berkelanjutan? :)

— frafl

@ Kaveh Terima kasih banyak, ini sangat masuk akal sekarang. Jika Anda bisa membenarkan penggunaan batas dan apa artinya lim inf berarti, maka itu akan melengkapi pemahaman saya.

— saadtaame

@saadtaame: Mungkin itu karena pertanyaan di atas masih tidak menanyakan apa yang ingin Anda ketahui? Jika saya ingat dengan benar, Anda menambahkan karena komentar yang menyarankannya. Jika Anda memberikan beberapa konteks, mungkin seseorang dapat mengulangi pertanyaan itu lagi.

f_{\infty}

$f_\infty$

— frafl

Ya, mungkin saja memiliki rantai tak terbatas.

Saya yakin Anda sudah terbiasa dengan beberapa contoh: Anda memiliki rantai tak terbatas di sini: polinomial tingkat pertumbuhan. Bisakah kamu melangkah lebih jauh? Tentu! Eksponensial tumbuh lebih cepat (secara asimptotik) daripada polinomial mana pun. Dan tentu saja Anda dapat melanjutkan:

O (x) \subseteq O (x^{2}) \subseteq \dots \subseteq O (x^{42}) \subseteq \dots

$O(x) \subseteq O(x^2) \subseteq \ldots \subseteq O(x^{42}) \subseteq \ldots$

O (x) \subseteq O (x^{2}) \subseteq \dots \subseteq O (x^{42}) \subseteq \dots O (e^{x})

$O(x) \subseteq O(x^2) \subseteq \ldots \subseteq O(x^{42}) \subseteq \ldots O(e^x)$

O (e^{x}) \subseteq O (x e^{x}) \subseteq O (e^{2 x}) \subseteq O (e^{e^{x}}) \subseteq \dots

$O(\mathrm{e}^x) \subseteq O(x\,\mathrm{e}^x) \subseteq O(\mathrm{e}^{2x}) \subseteq O(\mathrm{e}^{\mathrm{e}^x}) \subseteq \ldots$

Anda dapat membangun rantai tak terbatas ke arah lain juga. Jika maka (berpegang pada fungsi positif, karena di sini kita membahas asimptotik fungsi kerumitan). Jadi kita punya misalnya: $f = O(g)$ $\dfrac{1}{g} = O\left(\dfrac{1}{f}\right)$

O (x) \subseteq O (x^{2}) \subseteq \dots \subseteq O (\frac{e^{x}}{x^{2}}) \subseteq O (\frac{e^{x}}{x}) \subseteq O (e^{x})

$O(x) \subseteq O(x^2) \subseteq \ldots \subseteq O\left(\dfrac{e^x}{x^2}\right) \subseteq O\left(\dfrac{e^x}{x}\right) \subseteq O(e^x)$

Bahkan, mengingat rantai fungsi apa pun , Anda dapat membangun fungsi yang tumbuh lebih cepat daripada semuanya. (Saya berasumsi adalah fungsi dari hingga .) Pertama, mulai dengan ide . Itu mungkin tidak berfungsi karena set dapat tidak terikat. Tetapi karena kita hanya tertarik pada pertumbuhan asimptotik, itu sudah cukup untuk memulai dari yang kecil dan tumbuh secara progresif. Ambil maksimum dari sejumlah fungsi yang terbatas . $f_1, \ldots, f_n$ $f_\infty$ $f_i$ $\mathbb{N}$ $\mathbb{R}_+$ $f_\infty(x) = \max \{f_n(x) \mid n \in\mathbb{N}\}$ $\{f_n(x) \mid n \in\mathbb{N}\}$

f_{\infty} (x) = max {f_{n} (x) ∣ 1 \leq n \leq N} if N \leq x < N + 1

$f_\infty(x) = \max \{f_n(x) \mid 1 \le n \le N \} \qquad \text{if $N \le x \lt N+1$}$ Kemudian untuk apa pun , , karena . Jika Anda ingin fungsi yang tumbuh lebih cepat ( ), ambil .

N

$N$

f_{N} \in O (f_{\infty})

$f_N \in O(f_\infty)$

\forall x \geq N, f_{\infty} (x) \geq f_{N} (x)

$\forall x \ge N, f_\infty(x) \ge f_N(x)$

f_{\infty} = o (f_{\infty}^{'})

$f_\infty = o(f_\infty')$

f_{\infty}^{'} (x) = x \cdot (1 + f_{\infty} (x))

$f_\infty'(x) = x \cdot (1 + f_\infty(x))$

— Gilles 'SANGAT berhenti menjadi jahat'
sumber

Semua jawaban ini (Anda dan yang lain), didasarkan pada asumsi bahwa kita tahu apa yang terjadi tanpa batas, mereka tidak memuaskan bagi saya, saya tidak tahu tentang OP (mengapa kita tidak harus memiliki grup tertutup dengan ukuran tak terbatas ?)

@SaeedAmiri Maaf, saya tidak mengerti komentar Anda: apa yang Anda maksud dengan "kita tahu apa yang terjadi dalam ketidakterbatasan, mereka tidak memuaskan bagi saya"?

— Gilles 'SO- berhenti bersikap jahat'