Dalam kertas Ben-Dor / Halevi [1] itu diberikan bukti lain bahwa permanen -Lengkap. Di bagian akhir makalah ini, mereka menunjukkan rantai reduksi IntPerm ∝ NoNegPerm ∝ 2PowerPerm ∝ 0/1-Perm sementara nilai permanen dipertahankan di sepanjang rantai. Karena jumlah tugas pemisah dari formula 3SAT Φ dapat diperoleh dari nilai permanen, itu cukup untuk menghitung permanen dari matriks 0 / 1- final. Sejauh ini baik.
Namun, hal ini juga diketahui bahwa permanen dari -matrix A sama dengan jumlah matchings sempurna di double cover bipartit G , yaitu, grafik dari matriks ( 0 A A t 0 ) . Dan angka ini dapat dihitung secara efisien jika G ternyata planar (menggunakan algoritma Kastelyens).
Jadi secara total ini berarti, seseorang dapat menghitung jumlah penugasan yang menyebalkan dari formula boolean jika grafik terakhir G adalah planar.
Karena penanaman sangat tergantung pada rumus Φ , harapannya adalah, bahwa ada formula tertentu yang lebih sering mengarah ke penutup bipartit planar. Adakah yang tahu kalau pernah diselidiki seberapa besar kemungkinan G akan planar?
Karena menghitung solusi satiesfying adalah -complete, grafik akan pasti hampir selalu non-planar, tetapi saya tidak dapat menemukan petunjuk mengenai topik ini.
[1] Amir Ben-Dor dan Shai Halevi. Zero-one permanen adalah # p-complete, bukti yang lebih sederhana. Dalam Simposium Israel ke-2 tentang Teori Sistem Komputasi, halaman 108-117, 1993. Natanya, Israel.