3-Clique Partition untuk grafik dengan diameter tetap

Masalah 3-Clique Partition adalah masalah menentukan apakah simpul dari sebuah grafik, misalnya , dapat dipartisi menjadi 3 klik. Masalah ini NP-hard dengan pengurangan sederhana dari masalah 3-colorability. Tidak sulit untuk melihat bahwa jawaban untuk masalah ini mudah ketika atau . Masalahnya tetap NP-keras ketika dengan reduksi sederhana dari dirinya sendiri (diberi grafik , tambahkan simpul dan hubungkan ke semua simpul lainnya). $G$ $\textrm{diam}(G) = 1$ $\textrm{diam}(G) > 5$ $\textrm{diam}(G) = 2$ $G$

Apa kompleksitas masalah ini untuk grafik dengan untuk ? $\textrm{diam}(G) = p$ $3\le p \le 5$

— Babak Behsaz
sumber

Masalahnya tampaknya dalam . $P$

Ambil dua simpul , dengan jarak tepat 3 (pasangan seperti itu harus ada saat ). Mereka harus memiliki warna yang berbeda (saya akan menggunakan R, G, B untuk menunjukkan 3 warna dan simpul dalam klik yang sama diwarnai dengan warna yang sama). Wlog menganggap berwarna Merah dan berwarna Hijau. $u$ $v$ $p\ge 3$ $u$ $v$

$\Gamma(u)$ $u$ $\Gamma(v)$ $V-\Gamma(u)-\Gamma(v)$ $u$ $v$ $u$ $v$ $v$ harus diwarnai Hijau atau Biru. Setiap simpul sekarang memiliki paling banyak dua pilihan, oleh karena itu masalahnya menjadi instance 2-SAT yang dapat kita selesaikan dalam waktu polinomial.

— Rong Ge
sumber

dapatkah Anda menggambarkan formulasi 2-SAT yang sesuai?

— user5153

B (v)

$B(v)$

v

$v$

u

$u$

v

$v$

(B (v) \lor B (u))

$(B(v) \vee B(u))$

(\bar{B (v)} \lor \bar{B (u)})

$(\bar{B(v)} \vee \bar{B(u)})$

— Babak Behsaz