Solusi Kristoffer dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa, dengan asumsi real diwakili sehingga kita dapat menghitung batas urutan real yang dapat dihitung Cauchy. Ingat bahwa urutan adalah computably Cauchy jika ada peta dihitung f seperti itu, mengingat setiap k kita memiliki | a m - a n | < 2 - k untuk semua m , n ≥ f ( k )( an)nfk| Sebuahm- an| < 2- km , n ≥ f( k ). Representasi standar real seperti itu, misalnya yang real diwakili oleh mesin yang menghitung perkiraan rasional yang baik secara sewenang-wenang. (Kita juga dapat berbicara dalam hal angka komputasi, tetapi kemudian kita harus membiarkan angka negatif. Ini adalah masalah yang terkenal dalam teori komputabilitas dari real.)
S⊆ R( an)n Sx = limnSebuahnSSxS
Bukti.
Misalkan dapat dipilih. Diberikan mesin Turing apa pun , pertimbangkan urutan didefinisikan sebagai
Mudah untuk memeriksa bahwa adalah computably Cauchy, oleh karena itu kita dapat menghitung batasnya . Sekarang kita memiliki iff berhenti, sehingga kita dapat memecahkan Masalah Henti. QED.T b n b n = { a n jika T tidak berhenti di langkah pertama n , a m jika T telah berhenti di langkah m dan m ≤ n . b n y = lim n b n y ∈ S TSTbn
bn= { anSebuahmjika T belum berhenti di langkah n pertama ,jika T telah dihentikan pada langkah m dan m ≤ n .
bny= limnbny∈ ST
Ada teorema ganda di mana kita asumsikan urutan luar tetapi batasnya adalah di .SSS
Contoh himpunan memenuhi kondisi ini adalah: interval terbuka, interval tertutup, angka negatif, singleton , bilangan rasional, bilangan irasional, bilangan transcedental, bilangan aljabar, dll.{ 0 }S{ 0 }
Satu set yang tidak memenuhi kondisi teorema adalah himpunan bilangan rasional diterjemahkan oleh non-komputasi jumlah . Latihan: apakah dapat dipilih?α SS= { q+ α ∣ q∈ Q }αS