Kompleksitas komputasi dari penghitungan subgraph yang diinduksi memiliki kecocokan sempurna


25

Mengingat sebuah grafik diarahkan dan tertimbang dan integer bahkan , apa yang kompleksitas komputasi penghitungan set simpul sehingga dan subgraf dari terbatas himpunan titik mengakui pasangan yang cocok? Apakah kompleksitas # P-selesai? Apakah ada referensi untuk masalah ini?k S V | S | = K G SG=(V,E)kSV|S|=kGS

Perhatikan bahwa masalahnya tentu saja mudah untuk konstanta karena dengan demikian semua subgraf dengan ukuran dapat disebutkan dalam waktu {| V | \ pilih k} . Perhatikan juga bahwa masalahnya berbeda dengan menghitung jumlah pencocokan sempurna. Alasannya adalah bahwa satu set simpul yang mengakui pencocokan sempurna mungkin memiliki beberapa pencocokan sempurna.kkk(|V|k)

Cara lain untuk menyatakan masalahnya adalah sebagai berikut. Pencocokan disebut pencocokan k jika cocok dengan k . Dua pencocokan M dan M adalah `` vertex-set-non-invariant' 'jika set simpul yang cocok dengan M dan M tidak identik. Kami ingin menghitung jumlah total k matching k -vertex-set-non-invarian .


Ketika k=logn , jumlah himpunan bagian tersebut adalah (|V|logn)nlogn , dan memeriksa apakah grafik yang diinduksi oleh subset memiliki pencocokan sempurna menggunakan Tutte's karakterisasi membutuhkan O(2logn)=O(n) waktu, oleh karena itu tidak mungkin untuk itu bahkan NP-lengkap kecuali hipotesis waktu eksponensial salah. Karenanya kasus yang menarik adalah ketika k=θ(nlogn) , dalam hal ini pendekatan naif membutuhkan waktu 2O(n) waktu, jika Anda mencari kelengkapan #P.
Sajin Koroth

@Sajin Koroth: Saya tidak mengikuti kalimat terakhir dalam komentar Anda. Misalnya, jika k = √n, pendekatan naif membutuhkan waktu 2nΩ(1) waktu, dan saya tidak berpikir bahwa ini memberikan bukti bahwa itu # P-complete.
Tsuyoshi Ito

@ TsuyoshiIto: Ya Anda benar. Seharusnya "memilih k sedemikian rupa sehingga, pendekatan naif membutuhkan waktu O(2n) ".
Sajin Koroth

@Sajin Koroth: Mengapa kita harus memilih nilai k sedemikian rupa sehingga pendekatan naif membutuhkan waktu ? Melakukan hal itu mungkin tidak menyakitkan, tetapi saya tidak mengerti mengapa seseorang harus melakukan itu. O(2n)
Tsuyoshi Ito

4
Tampaknya sebagian besar masalah semacam itu "bagaimana manusia menginduksi subgraf berukuran k memiliki properti X?" sulit. Bahkan properti "memiliki tepi" sulit ("Memiliki tepi" memecahkan "tidak memiliki tepi" yaitu "adalah grafik lengkap" dalam duel ... memecahkan MAX CLIQUE). Ini benar-benar membuatnya merasa bahwa "memiliki kecocokan yang sempurna" juga akan sulit, tetapi menemukan bukti saat ini sulit.
bbejot

Jawaban:


6

Masalahnya adalah # P-selesai. Ini mengikuti dari paragraf terakhir dari halaman 2 makalah berikut:

CJ Colbourn, JS Provan, dan D. Vertigan, Kompleksitas menghitung polinomial Tutte pada matroid transversal, Combinatorica 15 (1995), no. 1, 1–10.

http://www.springerlink.com/content/wk55t6873054232q/


6

Masalahnya mengakui FPTRAS. Ini adalah algoritma acak yang mendapat grafik , parameter , dan bilangan rasional dan sebagai input. Jika adalah jumlah set -vertex yang Anda cari, maka menghasilkan angka sehingga dan melakukannya dalam waktu , di mana adalah beberapa fungsi yang dapat dihitung danAGkNϵ>0δ(0,1)zkAz

P(z[(1ϵ)z,(1+ϵ)z])1δ,
f(k)g(n,ϵ1,logδ1)fg adalah polinomial.

Ini mengikuti dari Thm. 3.1 in (Jerrum, Meeks 13) : Diberikan properti grafik, ada FPTRAS, dengan input yang sama seperti di atas, yang mendekati ukuran himpunan asalkan dapat dikomputasi, monoton, dan semua grafik tepi-minimalnya telah terikat dengan treewidth. Ketiga kondisi tersebut berlaku jika adalah properti grafik untuk mengakui pencocokan sempurna.Φ

{SV(G)|S|=kΦ(G[S])},
ΦΦ
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.